Nearly orthogonal vectors and small antipodal spherical codes
Nearly orthogonal vectors and small antipodal spherical codes
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近正交向量和小对映球码
DOI：
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发表时间：
2018
影响因子：
1
通讯作者：
Christopher Cox
中科院分区：
文献类型：
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作者：
B. Bukh;Christopher Cox
如何排列d + k个向量，使它们尽可能接近正交？特别地，定义θ（d，k）：= min X max x <$y ∈ X| 2008年，|其中，最小值是在d + k个单位向量X d的所有集合上取的。在本文中，我们重点讨论的情况下，k是固定的，d → ∞。在建立θ（d，k）上的界时，我们发现了一个与θ k中$$\left（\开始{array}{c}k+1\ 2\end{array}\right）$$（k + 1 2）等角线系统存在性的密切联系。利用这种联系，我们能够在k ∈ {1，2，3，7，23}时确定θ（d，k），并建立一般k的渐近性。主要工具是$$\mathbb{E}_{x，y\sim\mu}的上界|\langle{x，y}\r| $$ E x，y ~ µ| <x，y>|只要μ是在μ k上的各向同性概率质量，这可能是独立的兴趣。我们的结果可以自然地转化为在《自然》中的类似问题。在这种情况下，该问题涉及到的存在性系统的k 2等角线在dk，也被称为SIC-POVM在物理学文献。
How can d + k vectors in ℝ d be arranged so that they are as close to orthogonal as possible? In particular, define θ ( d , k ) := min X max x ≠ y ∈ X |〈 x , y 〉 | where the minimum is taken over all collections of d + k unit vectors X ⊆ ℝ d . In this paper, we focus on the case here k is fixed and d → ∞. In establishing bounds on θ ( d , k ), we find an intimate connection to the existence of systems of $$\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2\end{array}\right)$$ ( k + 1 2 ) equiangular lines in ℝ k . Using this connection, we are able to pin down θ ( d , k ) whenever k ∈ {1, 2, 3, 7, 23} and establish asymptotics for general k . The main tool is an upper bound on $$\mathbb{E}_{x,y\sim\mu}|\langle{x,y}\rangle|$$ E x , y ~ µ | ⟨ x , y ⟩ | whenever μ is an isotropic probability mass on ℝ k , which may be of independent interest. Our results translate naturally to the analogous question in ℂ d . In this case, the question relates to the existence of systems of k 2 equiangular lines in ℂ k , also known as SIC-POVM in physics literature.