Frame Multiplication Theory and a Vector-Valued DFT and Ambiguity Function
Frame Multiplication Theory and a Vector-Valued DFT and Ambiguity Function
复制标题
帧乘法理论以及向量值DFT和模糊度函数
DOI：
10.1007/s00041-018-09653-x
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发表时间：
2019
影响因子：
1.2
通讯作者：
Donatelli, Jeffrey J.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Andrews, Travis D.;Benedetto, John J.;Donatelli, Jeffrey J.
定义了向量值离散傅里叶变换（DFT）和模糊函数。定义的动机是提供一个有用的时间-频率分析是必不可少的多传感器环境的现实建模。DFT的定义需要相关的测不准原理不等式。模糊函数的定义需要一个组件，导致制定一个数学理论，其中两个基本的代数运算可以以自然的方式兼容。该理论被称为框架乘法理论。这些定义、不等式和理论是相互依赖的，它们是本文的内容，核心是框架乘法理论。框架乘法理论的基础技术是框架理论、短时傅立叶变换和有限群的表示理论。主要结果有以下形式：框架乘法存在当且仅当理论中出现的有限框架是某种类型的，例如，调和框架，或者更一般地，群框架。考虑到时变动态系统建模的复杂性和重要性，在有效分析向量值多传感器环境的背景下，向量值DFT和模糊函数理论不仅必须在数学上有意义，而且必须具有构造性的可实现算法，并且在理论上是可行的。本文提出了我们解决这些问题的愿景，在一个重要的数学理论，并制定和发展一个有用的向量值理论的目标的基础上。
Vector-valued discrete Fourier transforms (DFTs) and ambiguity functions are defined. The motivation for thedefinitionsis to provide realistic modeling of multi-sensor environments in which a useful time–frequency analysis is essential. The definition of the DFT requires associateduncertainty principle inequalities. The definition of the ambiguity function requires a component that leads to formulating a mathematical theory in which two essential algebraic operations can be made compatible in a natural way. The theory is referred to asframe multiplication theory. These definitions, inequalities, and theory are interdependent, and they are the content of the paper with the centerpiece being frame multiplication theory. The technology underlying frame multiplication theory is the theory of frames, short time Fourier transforms, and the representation theory of finite groups. The main results have the following form: frame multiplication exists if and only if the finite frames that arise in the theory are of a certain type, e.g., harmonic frames, or, more generally, group frames. In light of the complexities and the importance of the modeling of time-varying and dynamical systems in the context of effectively analyzing vector-valued multi-sensor environments, the theory of vector-valued DFTs and ambiguity functions must not only bemathematically meaningful, but it must haveconstructive implementable algorithms, and becomputationally viable. This paper presents our vision for resolving these issues, in terms of a significant mathematical theory, and based on the goal of formulating and developing a useful vector-valued theory.
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