Towards van der Waerden's conjecture
Towards van der Waerden's conjecture
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发表时间：
2021-06
期刊：
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通讯作者：
Sam Chow;R. Dietmann
中科院分区：
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作者：
Sam Chow;R. Dietmann
五次多项式有多少次可由根式解？我们建立了这样的多项式，monic和不可约的整数系数在$[-H，H]$，是$O（H^{3.91}）$。更一般地，我们证明了如果$n \ge 3$和$n \notin \{ 7，8，10 \}$，则存在$O（H^{n-1.017}）$一元的，不可约的多项式$n$的整系数在$[-H，H]$和伽罗瓦群不包含$A_n$。除了交替群和度7，8，10 $，这建立了货车德尔瓦尔登1936年的猜想。
How often is a quintic polynomial solvable by radicals? We establish that the number of such polynomials, monic and irreducible with integer coefficients in $[-H,H]$, is $O(H^{3.91})$. More generally, we show that if $n \ge 3$ and $n \notin \{ 7, 8, 10 \}$ then there are $O(H^{n-1.017})$ monic, irreducible polynomials of degree $n$ with integer coefficients in $[-H,H]$ and Galois group not containing $A_n$. Save for the alternating group and degrees $7,8,10$, this establishes a 1936 conjecture of van der Waerden.