Squared quadratic Wasserstein distance: optimal couplings and Lions differentiability
Squared quadratic Wasserstein distance: optimal couplings and Lions differentiability
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平方二次 Wasserstein 距离：最佳耦合和 Lions 可微分性
DOI：
10.1051/ps/2020013
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发表时间：
2018
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
B. Jourdain
中科院分区：
文献类型：
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作者：
A. Alfonsi;B. Jourdain
本文证明了：对于两个概率测度μ和ν之间的二次Wasserstein距离W_（22）（μ，ν），任意一个最优耦合都是一个鞅耦合与一个最优迁移映射的合成.我们检查了最佳耦合的存在性，其中该映射给出了μ和？#之间唯一的最佳耦合。μ。其次，我们给出了在Lions（Cours Au Collège de France）中σ ∈ W 22（σ，ν）在μ处可微的直接证明. 2008）有意义当且仅当μ和ν之间存在唯一的最优耦合，并且该耦合由映射给出。这是已知的结合结果安布罗西奥，吉利和萨瓦雷（讲座数学苏黎世联邦理工学院。Birkhäuser Verlag，巴塞尔，2005）和Ambrosio和Gangbo（Comm. Pure Appl. Math.，2008年12月18日，在《明史》中，《明史》记载，“有一个人，是一个人，是一个人。此外，根据Gangbo和Tudorascu最近的论文（J. Math. Pures Appl. 125：119-174，2019），这两个可微性概念是等价的。此外，我们还给出了一个完备的概率证明：仅L2（Ω，Ω; Ω d）上的律不变函数F的Fréchet可微性就足以使X上的Fréchet微分成为X上的可测函数.
In this paper, we remark that any optimal coupling for the quadratic Wasserstein distance W22(μ,ν) between two probability measures μ and ν with finite second order moments on ℝd is the composition of a martingale coupling with an optimal transport map ?. We check the existence of an optimal coupling in which this map gives the unique optimal coupling between μ and ?#μ. Next, we give a direct proof that σ ↦ W22(σ,ν) is differentiable at μ in the Lions (Cours au Collège de France. 2008) sense iff there is a unique optimal coupling between μ and ν and this coupling is given by a map. It was known combining results by Ambrosio, Gigli and Savaré (Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 2005) and Ambrosio and Gangbo (Comm. Pure Appl. Math., 61:18–53, 2008) that, under the latter condition, geometric differentiability holds. Moreover, the two notions of differentiability are equivalent according to the recent paper of Gangbo and Tudorascu (J. Math. Pures Appl. 125:119–174, 2019). Besides, we give a self-contained probabilistic proof that mere Fréchet differentiability of a law invariant function F on L2(Ω, ℙ; ℝd) is enough for the Fréchet differential at X to be a measurable function of X.