An isoperimetric inequality in the plane with a log-convex density
An isoperimetric inequality in the plane with a log-convex density
复制标题
具有对数凸密度的平面中的等周不等式
DOI：
10.1007/s11587-018-0382-z
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发表时间：
2016
影响因子：
1.2
通讯作者：
I. McGillivray
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
I. McGillivray
给定 $$\mathbb {R}^2$$R2 上的正下半连续密度 f，加权体积 $$V_f:=f\mathscr {L}^2$$Vf:=fL2 在 $$\mathbb {R}^2$$R2 中的 $$\mathscr {L}^2$$L2 可测量集上定义。 $$\mathbb {R}^2$$R2 中一组有限周长 E 的 f 加权周长写作 $$P_f(E)$$Pf(E)。我们研究加权等周问题 $$\begin{aligned} I_f(v):=\inf \Big \{ P_f(E):E\text { 是 }\mathbb {R}^2\text { 中的一组有限周长，并且 }V_f(E)=v\Big \} \end{aligned}$$If(v):=inf{Pf(E):E 是一组有限周长周长 inR2andVf(E)=v}$$v>0$$v>0。假设 f 的形式为 $$f:\mathbb {R}^2\rightarrow (0,+\infty );x\mapsto e^{h(|x|)}$$f:R2→(0,+∞);x↦eh(|x|) 其中 $$h:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$$h:[0,+∞)→R 是非减凸功能。设 $$v>0$$v>0 且 B 为 $$\mathbb {R}^2$$R2 中的中心球，其中 $$V_f(B)=v$$Vf(B)=v。我们证明 B 是上述变分问题的极小值，并获得唯一性结果。
Given a positive lower semi-continuous density f on $$\mathbb {R}^2$$R2 the weighted volume $$V_f:=f\mathscr {L}^2$$Vf:=fL2 is defined on the $$\mathscr {L}^2$$L2-measurable sets in $$\mathbb {R}^2$$R2. The f-weighted perimeter of a set of finite perimeter E in $$\mathbb {R}^2$$R2 is written $$P_f(E)$$Pf(E). We study minimisers for the weighted isoperimetric problem $$\begin{aligned} I_f(v):=\inf \Big \{ P_f(E):E\text { is a set of finite perimeter in }\mathbb {R}^2\text { and }V_f(E)=v\Big \} \end{aligned}$$If(v):=inf{Pf(E):Eis a set of finite perimeter inR2andVf(E)=v}for $$v>0$$v>0. Suppose f takes the form $$f:\mathbb {R}^2\rightarrow (0,+\infty );x\mapsto e^{h(|x|)}$$f:R2→(0,+∞);x↦eh(|x|) where $$h:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$$h:[0,+∞)→R is a non-decreasing convex function. Let $$v>0$$v>0 and B a centred ball in $$\mathbb {R}^2$$R2 with $$V_f(B)=v$$Vf(B)=v. We show that B is a minimiser for the above variational problem and obtain a uniqueness result.