Realization of some Galois representations of low degree in Mordell-Weil groups
Realization of some Galois representations of low degree in Mordell-Weil groups
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Mordell-Weil群中一些低次伽罗瓦表示的实现
DOI：
10.4310/mrl.1997.v4.n1.a11
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发表时间：
1997
影响因子：
1
通讯作者：
David E. Rohrlich
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
David E. Rohrlich
例如，假设G = S9和H = S8，其中Sn表示n个字母上的对称群。则ρ是G的两个8维不可约表示之一，并且根据我们的定理存在M上的椭圆曲线E使得ρ出现在Q <$E（K）中。G的另一个8维不可约表示是ρ，其中是G的“符号”特征标，它也可以在Mordell-Weil群中实现：事实上，一个直接的论证表明，如果ρ出现在Q <$E（K）中，那么ρ出现在Q <$E（K）中，其中E表示E的二次扭曲。刚才提到的情形G = S9，H = S8实际上是该定理的最大实例，在两个方面：第一，对于G和H的任何选择，ρ的维数将是8;第二，如果我们不失一般性地假设K是L在M上的正规闭包，则G总是同构于S9的子群。特别地，G不同构于Weyl群W（E6）、W（E7）或W（E8）之一，因为这些群在S9中没有嵌入。因此，我们不恢复Shioda（[8]，[9]，[10]）的“最大”例子，其关于椭圆曲面的Mordell-Weil格的工作通过特殊化产生了E6，E7和E8类型的例子。这里，对于一个根系统X，短语“X型的例子”意味着数域K/M的伽罗瓦扩张以及一个椭圆
For example, suppose that G ∼= S9 and H ∼= S8, where Sn denotes the symmetric group on n letters. Then ρ is one of the two irreducible representations of G of dimension 8, and according to our theorem there exists an elliptic curve E over M such that ρ occurs in Q⊗E(K). The other irreducible representation of G of dimension 8 is ρ⊗ , where is the “sign” character of G, and it too can be realized in a Mordell-Weil group: in fact a straightforward argument shows that if ρ occurs in Q⊗E(K) then ρ⊗ occurs in Q⊗E (K), where E denotes the quadratic twist of E by . The case G ∼= S9, H ∼= S8 just mentioned is actually the maximal instance of the theorem, in two respects: first, for any choice of G and H the dimension of ρ will be 8, and second, if we assume without loss of generality that K is the normal closure of L over M then G is always isomorphic to a subgroup of S9. It follows in particular that G is not isomorphic to one of the Weyl groups W (E6), W (E7), or W (E8), because these groups do not have embeddings in S9. Thus we do not recover the “biggest” examples of Shioda ([8], [9], [10]), whose work on Mordell-Weil lattices of elliptic surfaces yields examples of type E6, E7, and E8 by specialization. Here for a root system X the phrase “example of type X” means a Galois extension of number fields K/M together with an elliptic
Tetsuji Shioda：“通过 Weyl 群的不变量构建高阶椭圆曲线”
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