The p-rank of Artin-Schreier curves
The p-rank of Artin-Schreier curves
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Artin-Schreier 曲线的 p 秩
DOI：
10.1007/bf01181639
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发表时间：
1975
影响因子：
0.6
通讯作者：
Doré Subrao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Doré Subrao
基场 k 是代数闭的，并且具有 p ≠ O 的特征。如果 A(k) 中的 p 阶点群中存在 Z/pZ 的 σA 个副本，则阿贝尔簇 A/k 的 p 秩为 σA。曲线 X/k 的 p 秩 σX 是其雅可比行列式的 p 秩。一般来说，X 的亏格是 ≥ σX。如果等式成立，则 X 是普通曲线。命题 3.2 证明方程 (xp−x)(yp−y)=1 的 Artin-Schreier 曲线 Xp 是普通曲线。因为它的属是 (p−1)(p−1) 并且它至少有 2p。 p。 (p−1) 自同构，如果 p>37，它是赫尔维茨定理的一个普通反例。定理 3.5 是将其扩展到更小的特征的归纳步骤。两者都是定理 4.1 的推论，定理 4.1 是我们的主要结果：如果 Y→X 是在 n 个不同点处 p 次分叉的循环覆盖，则 (σY−1+n)=(σX−1+n)×p。 n=0 的特殊情况，也就是无限制的情况，是由 Šafarevič 提出的 [7]。
The groundfield k is algebraically closed and of characteristic p ≠ O. The p-rank of an abelian variety A/k is σA if there are σA copies of Z/pZ in the group of points of order p in A(k). The p-rank σX of a curve X/k is the p-rank of its Jacobian. In general the genus of X is ≥ σX. X is ordinary if equality holds.Proposition 3.2 proves that the Artin-Schreier curve Xp with equation (xp−x)(yp−y)=1 is ordinary. As its genus is (p−1)(p−1) and it has at least 2p. p. (p−1) automorphisms, it is an ordinary counter example of Hurwitz's theorem if p>37. Theorem 3.5 is the inductive step in extending this to smaller characteristics. Both are corollaries of Theorem 4.1 which is our principal result: if Y→X is a cyclic covering of degree p ramified at n distinct points, then (σY−1+n)=(σX−1+n)×p. The particular case n=0, the unramiried case, is due to Šafarevič [7].