A formula for the characteristic polynomial of an arrangement
A formula for the characteristic polynomial of an arrangement
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排列特征多项式的公式
DOI：
10.1016/0001-8708(87)90011-9
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发表时间：
1987
影响因子：
1.7
通讯作者：
H. Terao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Louis Solomon;H. Terao
设 K 为域，V 为 K 上的 1 维向量空间。V 中的超平面是余维 1 的向量子空间。V 中的排列 d 是超平面的有限集。令 L (d) 为 d 元素的所有交集的集合。我们通过包含的逆过程对L(d)进行部分排序，使得X<Y意味着Xz Y。则L(d)是一个几何格子，称为d的交格子，其以V为最小元素。令 p 为莫比乌斯函数 [14, p。 [第 3421 章] d的特征多项式x(s？；t)由x(&d；t)＝cp(v，X)tdim Y(1.1)定义。 xEL (.d)如果n HE。 d H={0}，则x(&‘;t)为特征多项式[9,p。 [第 1281 章] Terao 在[11]中表明，如果 d 是自由排列，则 Z [t] 中的特征多项式因子为线性因子的乘积。它的非负整数根是 K [xi,..., x,] 的某些导数的次数。在本文中，我们介绍了一系列分级模 Dp (&)、p 20，并表明任何排列的特征多项式都可以根据模 Dp (&) 的庞加莱级数来计算。我们的主要结果是定理（1.2）。如果 d 是自由的
Let K be a field and let V be a vector space of dimension 1 over K. A hyperplane in V is a vector subspace of codimension 1. An arrangement d in V is a finite set of hyperplanes. Let L (d) be the collection of all intersections of elements of d. We partially order L (d) by the reverse of inclusion, so that X< Y means Xz Y. Then L (d) is a geometric lattice, called the intersection lattice of d, which has V as its minimal element. Let p be the Mobius function [14, p. 3421 of L (d). The characteristic polynomial x (s?; t) of d is defined by x (&d; t)= cp (v, X) tdim Y(1.1). xEL (. d)If n HE. d H={0}, then x (& ‘; t) is the characteristic polynomial [9, p. 1281 of L (d). In [11] Terao showed that if d is a free arrangement then the characteristic polynomial factors in Z [t] as a product of linear factors. Its non-negative integer roots are the degrees of certain derivations of K [xi,..., x,]. In this paper we introduce a family of graded modules Dp (&), p 20, and show that the characteristic polynomial of any arrangement may be computed in terms of the Poincare series of the modules Dp (&). Our main result is Theorem (1.2). In case d is a free