Banach-Tarski paradox using pieces with the property of Baire.
Banach-Tarski paradox using pieces with the property of Baire.
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巴纳赫-塔斯基悖论使用了拜尔财产的作品。
DOI：
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发表时间：
1992
影响因子：
11.1
通讯作者：
M. Foreman
中科院分区：
文献类型：
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作者：
R. Dougherty;M. Foreman
1924年，巴拿赫（Banach）和塔斯基（Tarski）利用豪斯多夫（Hausdorff）的思想证明了单位球面\(S^2\)存在一种划分，划分为集合\(A_1,\cdots,A_k,B_1,\cdots,B_l\)以及一组等距映射\([\sigma_1,\cdots,\sigma_k,\rho_1,\cdots,\rho_l]\)，使得\([\sigma_1A_1,\cdots,\sigma_kA_k]\)和\([\rho_1B_1,\cdots,\rho_lB_l]\)都是\(S^2\)的划分。这些划分中的集合是通过使用选择公理构造的，并且不可能都是勒贝格可测的。在本文中，我们解决了马尔采夫斯基（Marczewski）在1930年提出的一个问题，即证明了\(S^2\)存在一种划分为集合\(A_1,\cdots,A_k,B_1,\cdots,B_l\)的划分，这些集合具有一种不同的强正则性质，即贝尔性质。我们还证明了一个巴拿赫 - 塔斯基悖论的变体，它只涉及开集且不使用选择公理。
In 1924 Banach and Tarski, using ideas of Hausdorff, proved that there is a partition of the unit sphere S2 into sets A1,...,Ak,B1,..., Bl and a collection of isometries [sigma1,..., sigmak, rho1,..., rhol] so that [sigma1A1,..., sigmakAk] and [rho1B1,..., rholBl] both are partitions of S2. The sets in these partitions are constructed by using the axiom of choice and cannot all be Lebesgue measurable. In this note we solve a problem of Marczewski from 1930 by showing that there is a partition of S2 into sets A1,..., Ak, B1,..., Bl with a different strong regularity property, the Property of Baire. We also prove a version of the Banach-Tarski paradox that involves only open sets and does not use the axiom of choice.