On uniqueness of solutions to viscous HJB equations with a subquadratic nonlinearity in the gradient
On uniqueness of solutions to viscous HJB equations with a subquadratic nonlinearity in the gradient
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梯度次二次非线性粘性HJB方程解的唯一性
DOI：
10.1080/03605302.2019.1645697
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发表时间：
2019
影响因子：
1.9
通讯作者：
Caffarelli, Luis
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Arapostathis, Ari;Biswas, Anup;Caffarelli, Luis
具有强制函数和 λ 常数的粘性 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的正解的唯一性，在次二次情况下，即，似乎是一个悬而未决的问题。巴勒斯和梅雷莱斯 [通讯。偏微分方程41 (2016)]显示了这种情况的独特性，对于某些人来说，基本上与Ichihara的早期结果相匹配，后者考虑了更一般的哈密顿量，但对于f来说具有更好的规律性。据我们所知，如果不强制执行这一假设，文献中就没有关于独特性的结果。在这篇短文中，我们证明该方程对于任何局部 Lipschitz 连续且强制的 f 都有唯一的正解，并且满足某个正常数 κ。因为，这个假设对潜力的增长施加了非常温和的限制。我们还表明，该解决方案充分表征了相关遍历问题的最优性。我们的方法涉及对椭圆方程测度的无限维线性规划的研究，并且与早期的方法有很大不同。它也适用于 Ichihara 研究的更大类别的哈密顿量，并且我们表明，它非常适合为相关的遍历控制问题提供最优结果，即使是在路径意义上，并且无需诉诸抛物线问题。
Uniqueness of positive solutions to viscous Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equations of the form, withfa coercive function andλa constant, in the subquadratic case, that is,, appears to be an open problem. Barles and Meireles [Comm. Partial Differential Equations41 (2016)] show uniqueness in the case thatandfor some, essentially matching earlier results of Ichihara, who considered more general Hamiltonians but with better regularity forf. Without enforcing this assumption, to our knowledge, there are no results on uniqueness in the literature. In this short article, we show that the equation has a unique positive solution for any locally Lipschitz continuous, coercivefwhich satisfiesfor some positive constantκ. Since, this assumption imposes very mild restrictions on the growth of the potentialf. We also show that this solution fully characterizes optimality for the associated ergodic problem. Our method involves the study of an infinite dimensional linear program for elliptic equations for measures, and is very different from earlier approaches. It also applies to the larger class of Hamiltonians studied by Ichihara, and we show that it is well suited to provide optimality results for the associated ergodic control problem, even in a pathwise sense, and without resorting to the parabolic problem.
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