Nonlocal-Interaction Equation on Graphs: Gradient Flow Structure and Continuum Limit
Nonlocal-Interaction Equation on Graphs: Gradient Flow Structure and Continuum Limit
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图上的非局部相互作用方程：梯度流结构和连续极限
DOI：
10.1007/s00205-021-01631-w
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发表时间：
2021
影响因子：
2.5
通讯作者：
Slepčev, Dejan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Esposito, Antonio;Patacchini, Francesco S.;Schlichting, André;Slepčev, Dejan
我们考虑图上的相互作用能驱动的动力学。我们引入图形类似物的连续非局部相互作用方程，并将其解释为梯度流相对于图形Wasserstein距离。我们考虑的特定Wasserstein距离来自Benamou-Brenier公式的图形模拟，其中图形连续性方程使用逆风插值来定义沿沿着的密度。虽然这种方法具有理论和计算上的优势，但所产生的距离只是一个准度量。我们调查这个准度量图和更一般的结构，其中的“顶点”的集合是一个任意的积极措施。我们把由此产生的非定域相互作用能的梯度流称为非定域非定域相互作用方程（NLIE）。我们发展的NLIE的最大斜率曲线的解决方案的存在性理论的逆风Wasserstein准度量。此外，我们证明了图上的NLIE的解收敛为顶点集的经验测度弱收敛，这建立了一个有价值的离散到连续收敛结果。
We consider dynamics driven by interaction energies on graphs. We introduce graph analogues of the continuum nonlocal-interaction equation and interpret them as gradient flows with respect to a graph Wasserstein distance. The particular Wasserstein distance we consider arises from the graph analogue of the Benamou–Brenier formulation where the graph continuity equation uses an upwind interpolation to define the density along the edges. While this approach has both theoretical and computational advantages, the resulting distance is only a quasi-metric. We investigate this quasi-metric both on graphs and on more general structures where the set of “vertices” is an arbitrary positive measure. We call the resulting gradient flow of the nonlocal-interaction energy the nonlocal nonlocal-interaction equation (NLIE). We develop the existence theory for the solutions of the NLIE as curves of maximal slope with respect to the upwind Wasserstein quasi-metric. Furthermore, we show that the solutions of the NLIE on graphs converge as the empirical measures of the set of vertices converge weakly, which establishes a valuable discrete-to-continuum convergence result.
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A. Schlichting
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S. Serfaty