H\"older continuity of Lyapunov exponent for quasi-periodic Jacobi operators
H\"older continuity of Lyapunov exponent for quasi-periodic Jacobi operators
复制标题
DOI：
10.24033/bsmf.2675
复制
发表时间：
2011-08
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Kai Tao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kai Tao
本文考虑了拟周期Jacobi算子H_{x，\omega}$在$l ^2（\mathbb{Z}）$ $（H_{x，\omega}\phi）（n）= -B（x+（n+1）\omega）\phi（n+1）- B（x+n\omega）\phi（n-1）+ a（x+n\omega）\phi（n）= E\phi（n），\ n\in\mathbb{Z}，$其中$a（x），\ B（x）$是$\mathbb{T}$上的解析函数，$B$不恒为零，并且$\omega$服从某个强丢番图条件。我们考虑相应的么模上圈。本文证明了：如果对某个E=E_0$，上圈的李雅普诺夫指数L（E）$为正，则存在\rho_0 =\rho_0（a，b，\omega，E_0）$，$\beta=\beta（a，B，\omega）$使得$|L（E）-L（E '）|0$，则$L（E）$在$I $上是H\"{o}lder连续的，且H\"{o}lder指数$\beta=\beta（a，B，\omega，I）$。在我们的推导中，我们遵循Bourgain和Jitomirskaya \cite{BJ}开发的Goldstein-Schlag方法\cite{GS}的改进版本。
We consider the quasi-periodic Jacobi operator $H_{x,\omega}$ in $l^2(\mathbb{Z})$ $(H_{x,\omega}\phi)(n) = -b(x+(n+1)\omega)\phi(n+1) - b(x+n\omega)\phi(n-1) + a(x+n\omega)\phi(n) = E\phi(n),\ n\in\mathbb{Z},$ where $a(x),\ b(x)$ are analytic function on $\mathbb{T}$, $b$ is not identically zero, and $\omega$ obeys some strong Diophantine condition. We consider the corresponding unimodular cocycle. We prove that if the Lyapunov exponent $L(E)$ of the cocycle is positive for some $E=E_0$, then there exists $\rho_0=\rho_0(a,b,\omega,E_0)$, $\beta=\beta(a,b,\omega)$ such that $|L(E)-L(E')| 0$ for all $E$ in some compact interval $I$ then $L(E)$ is H\"{o}lder continuous on $I$ with a H\"{o}lder exponent $\beta=\beta(a,b,\omega,I)$. In our derivation we follow the refined version of the Goldstein-Schlag method \cite{GS} developed by Bourgain and Jitomirskaya \cite{BJ}.