A Quantified Coalgebraic van Benthem Theorem
A Quantified Coalgebraic van Benthem Theorem
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量化的山地范·本蒂姆定理
DOI：
10.1007/978-3-030-71995-1_28
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发表时间：
2021-03-23
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Schröder L
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Wild P;Schröder L
经典的van Benthem定理将模态逻辑描述为一阶逻辑的双模拟不变片段；换句话说，模态逻辑在双模拟不变性质上与全一阶逻辑一样具有表现力。这个结果最近被扩展到定量模态逻辑的两种风格，即模糊模态逻辑和概率模态逻辑。在这两种情况下，定量的van Benthem定理表明，在一阶逻辑各自的定量变量中，每一个公式都是双模拟不变的，在非扩张性的意义上，行为距离，可以用有界秩的定量模态公式来近似。在本文中，我们从三个方面统一和推广了这些结果：我们将它们提升到完全共代数的一般性，从而涵盖了广泛的系统类型，除了在现有的例子中包括模糊和概率转移系统，也包括度量转移系统；并将实值行为距离推广到量子值行为距离，如度量跃迁系统上的不确定性行为距离；我们去掉了对行为距离的对称假设，从而也涵盖了模拟的定量概念。
The classical van Benthem theorem characterizes modal logic as the bisimulation-invariant fragment of first-order logic; put differently, modal logic is as expressive as full first-order logic on bisimulation-invariant properties. This result has recently been extended to two flavours of quantitative modal logic, viz. fuzzy modal logic and probabilistic modal logic. In both cases, the quantitative van Benthem theorem states that every formula in the respective quantitative variant of first-order logic that is bisimulation-invariant, in the sense of being nonexpansive w.r.t. behavioural distance, can be approximated by quantitative modal formulae of bounded rank. In the present paper, we unify and generalize these results in three directions: We lift them to full coalgebraic generality, thus covering a wide range of system types including, besides fuzzy and probabilistic transition systems as in the existing examples, e.g. also metric transition systems; and we generalize from real-valued to quantale-valued behavioural distances, e.g. nondeterministic behavioural distances on metric transition systems; and we remove the symmetry assumption on behavioural distances, thus covering also quantitative notions of simulation.
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