On the topological computation of $$K_4$$K4 of the Gaussian and Eisenstein integers
On the topological computation of $$K_4$$K4 of the Gaussian and Eisenstein integers
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关于高斯整数和爱森斯坦整数$$K_4$$K4的拓扑计算
DOI：
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发表时间：
2014
影响因子：
0.5
通讯作者：
D. Yasaki
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Mathieu Dutour Sikirić;H. Gangl;Paul E. Gunnells;Jonathan Hanke;Achill Schürmann;D. Yasaki
在本文中，我们使用拓扑工具研究 $$R=Z[i]$$R=Z[i] 和 $$R=Z[\rho ]$$R=Z[ρ] 的代数 K 群 $$K_4(R)$$K4(R) 的结构，其中 $$i := \sqrt{-1}$$i:=-1 和 $$\rho := (1+\sqrt{-3})/2$$ρ:=(1+-3)/2。我们利用 $$n\le 5$$n≤5 的 $$\mathrm {GL}_n(R)$$GLn(R) 的同调群与相关分类空间之间的紧密联系，然后使用正定二次和埃尔米特形式的 Voronoi 约简理论计算前者，以产生 $$\mathrm {GL}_n(R)$$GLn(R) 作用的非常大的有限单元复形。我们的主要结果是 $$K_{4} ({\mathbb {Z}}[i])$$K4(Z[i]) 和 $$K_{4} ({\mathbb {Z}}[\rho ])$$K4(Z[ρ]) 对于 $$p\ge 5$$p≥5 没有 p 扭转。
In this paper we use topological tools to investigate the structure of the algebraic K-groups $$K_4(R)$$K4(R) for $$R=Z[i]$$R=Z[i] and $$R=Z[\rho ]$$R=Z[ρ] where $$i := \sqrt{-1}$$i:=-1 and $$\rho := (1+\sqrt{-3})/2$$ρ:=(1+-3)/2. We exploit the close connection between homology groups of $$\mathrm {GL}_n(R)$$GLn(R) for $$n\le 5$$n≤5 and those of related classifying spaces, then compute the former using Voronoi’s reduction theory of positive definite quadratic and Hermitian forms to produce a very large finite cell complex on which $$\mathrm {GL}_n(R)$$GLn(R) acts. Our main result is that $$K_{4} ({\mathbb {Z}}[i])$$K4(Z[i]) and $$K_{4} ({\mathbb {Z}}[\rho ])$$K4(Z[ρ]) have no p-torsion for $$p\ge 5$$p≥5.