On equations inS-units and the Thue-Mahler equation
On equations inS-units and the Thue-Mahler equation
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DOI：
10.1007/bf01388644
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发表时间：
1984-10
影响因子：
3.1
通讯作者：
J. Evertse
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Evertse
几类丢番图方程，例如 Thue-Mahler 方程和 Ramanujan-Nagell 方程的某些推广，可以简化为两个 S 单元中的某些线性方程。这里，S 是给定代数数域 K 上的一组有限等价类，S 单元是一个元素 eeK，其属性是 K 上唯一假设 e 值为 4= 1 的值属于 S 的等价类。在本节中，我们将说明两个 S 单元中线性方程解的数量的一般结果。在我们阐述之前，我们必须介绍一些关于估值的概念。在 w 中，我们将讨论 Ramanujan-Nagell 方程推广的一般结果的后果，在 w167 3-4 中，我们将讨论 Thue-Mahler 方程。令 K 为代数数域。 K 上的素数是指 K 上非平凡估值的等价类。通常我们用字母 p 表示 Q 上的素数，用 v 表示给定代数数域 K 上的素数，用 V 表示 K 的扩展。素数 v 处的 K 的完备性用 K v 表示。我们区分包含非阿基米德估值的有限素数和包含阿基米德估值的无限素数。此外，如果 K,,= F，则无限素数称为实数；如果 Kv= C，则称为复数。最后，K 上的素数集用 M K 表示。
Several classes of diophantine equations, such as the Thue-Mahler equation and certain generalisations of the Ramanujan-Nagell equation, can be reduced to certain linear equations in two S-units. Here S is a finite set of equivalence classes of valuations on a given algebraic number field K and an S-unit is an element eeK with the property that the only valuations on K which assume a value 4= 1 for e belong to equivalence classes from S. In this section we shall state a general result on the number of solutions of linear equations in two S-units. Before we can state it, we have to introduce some notions on valuations. In w we shall discuss the consequences of our general result for generalisations of the Ramanujan-Nagell equation and in w167 3-4 we shall deal with the Thue-Mahler equation.Let K be an algebraic number field. By a prime on K we shall mean an equivalence class of non-trivial valuations on K. Usually we shall denote primes on Q by the letter p, on a given algebraic number field K by v and on an extension of K by V. The completion of K at the prime v is denoted by K v. We distinguish between finite primes, containing non-archimedean valuations, and infinite primes, containing archimedean valuations. Furthermore, an infinite prime is called real if K,,= F, and complex if Kv= C. Finally, the set of primes on K is denoted by M K.