Hölder curves and parameterizations in the Analyst's Traveling Salesman theorem
Hölder curves and parameterizations in the Analyst's Traveling Salesman theorem
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分析师旅行商定理中的霍尔德曲线和参数化
DOI：
10.1016/j.aim.2019.04.011
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发表时间：
2019
影响因子：
1.7
通讯作者：
Vellis, Vyron
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Badger, Matthew;Naples, Lisa;Vellis, Vyron
我们调查几何集在欧几里得和无限维希尔伯特空间。我们建立了（1/s）-Hölder连续映射f：[0，1]→ l2（s> 1）的象中包含点集的充分条件.我们的研究结果的动机和推广的“足够的一半”的分析师的旅行推销员定理，其特征子集的可求长曲线在R N或L 2的线性近似数的二次和称为琼斯的β数。分析家旅行商定理的最初证明依赖于20世纪20年代可求长曲线的一个著名度量特征，这对于高维曲线如霍德尔曲线是不可用的。为了克服这个障碍，我们重新设想琼斯的非参数证明，并显示如何构造参数化的中间逼近曲线f k（[0，1]）。然后，我们找到条件的管近似，确保逼近曲线收敛到一个Hölder曲线。作为应用几何的措施，我们确定的条件，保证分数求直的逐点加倍措施在RN。
We investigate the geometry of sets in Euclidean and infinite-dimensional Hilbert spaces. We establish sufficient conditions that ensure a set of points is contained in the image of a (1/s)-Hölder continuous map f:[0, 1]→ l 2, with s> 1. Our results are motivated by and generalize the “sufficient half” of the Analyst's Traveling Salesman Theorem, which characterizes subsets of rectifiable curves in R N or l 2 in terms of a quadratic sum of linear approximation numbers called Jones' beta numbers. The original proof of the Analyst's Traveling Salesman Theorem depends on a well-known metric characterization of rectifiable curves from the 1920s, which is not available for higher-dimensional curves such as Hölder curves. To overcome this obstacle, we reimagine Jones' non-parametric proof and show how to construct parameterizations of the intermediate approximating curves f k ([0, 1]). We then find conditions in terms of tube approximations that ensure the approximating curves converge to a Hölder curve. As an application to the geometry of measures, we identify conditions that guarantee fractional rectifiability of pointwise doubling measures in R N.
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