Two enumerative results on cycles of permutations
Two enumerative results on cycles of permutations
复制标题
排列循环的两个枚举结果
DOI：
10.1016/j.ejc.2011.01.011
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
R. Stanley
中科院分区：
文献类型：
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作者：
R. Stanley
在回答Bóna的一个问题时，证明了对于n≥2，1和2在集合{1，2，…上的两个n-圈的乘积的同一圈中的概率如果n是奇数，则n}是1/2；如果n是偶数，则12−2(n−1)(n+2)。另一个结果涉及多项式Pλ(Q)=∑WQκ((1，2，…，n)⋅w)，其中w取值于循环型对称群λ，(1，2，…)中的所有置换，n)表示n-圈1→2→⋯→n→1，κ(V)表示排列V的圈数。给出了Pλ(Q)的一个公式，由此推导出Pλ(Q)的所有零点都有实部0。
Answering a question of Bóna, it is shown that for n≥2 the probability that 1 and 2 are in the same cycle of a product of two n-cycles on the set {1,2,…,n} is 1/2 if n is odd and 12−2(n−1)(n+2) if n is even. Another result concerns the polynomial Pλ(q)=∑wqκ((1,2,…,n)⋅w), where w ranges over all permutations in the symmetric group Snof cycle type λ, (1,2,…,n) denotes the n-cycle 1→2→⋯→n→1, and κ(v) denotes the number of cycles of the permutation v. A formula is obtained for Pλ(q) from which it is deduced that all zeros of Pλ(q) have real part 0.