Parity and the modular bootstrap
Parity and the modular bootstrap
复制标题
奇偶校验和模块化引导程序
DOI：
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发表时间：
2018
期刊：
影响因子：
5.5
通讯作者：
Edgar Shaghoulian
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Tarek Anous;R. Mahajan;Edgar Shaghoulian
<jats:p>我们考虑酉，模不变，二维CFTs，
在宇称变换下不变
<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>P</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>P</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>。
组合<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>P</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>P</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
带模逆<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>S</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
导致连续族的不动点
<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>SP</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
转型存在该不动点轨迹的一个特定子集
沿着正的左移和右移温度线
满足<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>η_L eta_R = 4 π ^2</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mi>π</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>。
我们用这个固定轨迹来证明Hartman，Keller和
斯多伊卡认为大的-<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>c</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>c c</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>的自由能
CFT<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>_2</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi /><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
具有适当稀疏的低位频谱，
AdS_3<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math></jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi /><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
所有温度和角势下的引力我们还使用
固定轨迹推广模块化自助方程，获得
新的约束算子谱，并提供了一个新的证明
扭转间隙小于
<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>（c-1）/12</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false" form="prefix">（</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false" form="postfix">）</mml:mo><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
当<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>c>1时</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>，c</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>。
在逃<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>c</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>c</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
我们证明了第一激发原色的算符维数为
<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>（h，overline{h}）</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false" form="prefix">（</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>，</mml:mo><mml:mover><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo accent="true">′</mml:mo></mml:mover><mml:mo stretchy="false" form="postfix"></mml:mo></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>）平面中的区域
这比<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>h+overline{h}<c/6</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo accent="true"><$</mml:mo></mml:mover><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>小得多。
我们关于算子谱的自由能和约束的结果
扩展到理论没有宇称对称通过建设
辅助奇偶不变配分函数。</jats:p>
<jats:p>We consider unitary, modular invariant, two-dimensional CFTs which
are invariant under the parity transformation
<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>P</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>P</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.
Combining <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>P</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>P</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
with modular inversion <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>S</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
leads to a continuous family of fixed points of the
<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>SP</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
transformation. A particular subset of this locus of fixed points exists
along the line of positive left- and right-moving temperatures
satisfying <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>eta_L eta_R = 4pi^2</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msup><mml:mi>π</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.
We use this fixed locus to prove a conjecture of Hartman, Keller, and
Stoica that the free energy of a large-<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>c</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>c</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
CFT<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>_2</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi /><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
with a suitably sparse low-lying spectrum matches that of
AdS<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>_3</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi /><mml:mn>3</mml:mn></mml:msub></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
gravity at all temperatures and all angular potentials. We also use the
fixed locus to generalize the modular bootstrap equations, obtaining
novel constraints on the operator spectrum and providing a new proof of
the statement that the twist gap is smaller than
<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>(c-1)/12</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
when <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>c>1</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.
At large <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>c</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>c</mml:mi></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>
we show that the operator dimension of the first excited primary lies in
a region in the <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>(h,overline{h})</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mover><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>-plane
that is significantly smaller than <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>h+overline{h}<c/6</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>/</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.
Our results for the free energy and constraints on the operator spectrum
extend to theories without parity symmetry through the construction of
an auxiliary parity-invariant partition function.</jats:p>