Min-max hypersurface in manifold of positive Ricci curvature
Min-max hypersurface in manifold of positive Ricci curvature
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正里奇曲率流形中的最小-最大超曲面
DOI：
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发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Xin Zhou
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Xin Zhou
本文研究了高维正Ricci曲率黎曼流形$（M^{n+1}，g）$中由Almens-Pitts-Schoen-Simon \cite{AF 62，AF 65，P81，SS 81}生成的极小极大极小超曲面的形状.极小极大超曲面有一个Hausdorff余维数为$7$的奇异集。我们刻画了这种奇异极大极小超曲面的莫尔斯指数、面积和重数。特别地，我们证明了极小极大超曲面是可定向的且具有莫尔斯指标1，或者是不可定向的稳定极小超曲面的双覆盖.
作为一个必要的技术工具，我们证明了一个更强的版本的离散化定理。离散化定理，首先由马克-内维斯在他们的证明Willmore猜想\cite{MN 12}，是一个桥梁连接清扫自然出现在几何中的清扫使用的极小极大理论。我们的结果删除了\cite{MN 12}的一个关键假设，称为无质量浓度条件，因此证实了Marques-Neves在\cite{MN 12}中的一个猜想。
In this paper, we study the shape of the min-max minimal hypersurface produced by Almgren-Pitts-Schoen-Simon \cite{AF62, AF65, P81, SS81} in a Riemannian manifold $(M^{n+1}, g)$ of positive Ricci curvature for all dimensions. The min-max hypersurface has a singular set of Hausdorff codimension $7$. We characterize the Morse index, area and multiplicity of this singular min-max hypersurface. In particular, we show that the min-max hypersurface is either orientable and has Morse index one, or is a double cover of a non-orientable stable minimal hypersurface.
As an essential technical tool, we prove a stronger version of the discretization theorem. The discretization theorem, first developed by Marques-Neves in their proof of the Willmore conjecture \cite{MN12}, is a bridge to connect sweepouts appearing naturally in geometry to sweepouts used in the min-max theory. Our result removes a critical assumption of \cite{MN12}, called the no mass concentration condition, and hence confirms a conjecture by Marques-Neves in \cite{MN12}.
嵌入式最小超曲面的存在性
影响因子：
2.5
作者：
De Lellis;Tasnady
通讯作者：
Tasnady