Geometric entropy of geodesic currents on free groups
Geometric entropy of geodesic currents on free groups
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自由群上测地流的几何熵
DOI：
10.1090/conm/532/10489
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发表时间：
2008
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
T. Nagnibeda
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Ilya Kapovich;T. Nagnibeda
自由群 $F$ 上的 \emph{测地线流} 是 $\partial F$ 的不同点对集合 $\partial^2 F$ 上的 $F$ 不变测度。 $F$ 上的测地流空间是 Culler-Vogtmann 的外层空间 $cv(F)$ 的天然伴侣，将它们一起研究可以产生有关这两个空间以及 $Out(F)$ 群的新信息。本文的主要目的是介绍和研究测地线流$\mu$相对于$cv(F)$的点$T$的{\it几何熵}$h_T(\mu)$的概念，可以将其视为$F$上的长度函数。几何熵定义为 $F$ 中双无限圆柱体的 $\mu$ 度量的指数衰减最慢速率，因为定义此类圆柱体的单词的 $T$ 长度趋于无穷大。我们得到 $h_{T'}(\mu_T)$ 的显式公式，其中 $T,T'$ 是 $cv(F)$ 中的任意点，其中 $\mu_T$ 表示对应于 $T$ 的帕特森-沙利文电流。它涉及体积熵 $h(T)$ 以及 $T$ 中的距离相对于 $T'$ 中的距离的极值失真。由此可见，给定投影外层空间 $CV(F)$ 中的 $T$，$h_{T'}(\mu_T)$ 作为 $T'\in CV(F)$ 的函数在 $T'=T$ 处达到严格的全局最大值。我们还表明，对于任何 $T\in cv(F)$ 和 $F$ 上的任何测地线流 $\mu$，$h_T(\mu)\le h(T)$，其中当 $\mu=\mu_T$ 时实现相等。对于具有单纯度量的点 $T\in cv(F)$ （其中所有边的长度均为 1），我们将当前的几何熵与测度理论熵联系起来。
A \emph{geodesic current} on a free group $F$ is an $F$-invariant measure on the set $\partial^2 F$ of pairs of distinct points of $\partial F$. The space of geodesic currents on $F$ is a natural companion of Culler-Vogtmann's Outer space $cv(F)$ and studying them together yields new information about both spaces as well as about the group $Out(F)$. The main aim of this paper is to introduce and study the notion of {\it geometric entropy} $h_T(\mu)$ of a geodesic current $\mu$ with respect to a point $T$ of $cv(F)$, which can be viewed as a length function on $F$. The geometric entropy is defined as the slowest rate of exponential decay of $\mu$-measures of bi-infinite cylinders in $F$, as the $T$-length of the word defining such a cylinder goes to infinity. We obtain an explicit formula for $h_{T'}(\mu_T)$, where $T,T'$ are arbitrary points in $cv(F)$ and where $\mu_T$ denotes a Patterson-Sullivan current corresponding to $T$. It involves the volume entropy $h(T)$ and the extremal distortion of distances in $T$ with respect to distances in $T'$. It follows that, given $T$ in the projectivized outer space $CV(F)$, $h_{T'}(\mu_T)$ as function of $T'\in CV(F)$ achieves a strict global maximum at $T'=T$. We also show that for any $T\in cv(F)$ and any geodesic current $\mu$ on $F$, $h_T(\mu)\le h(T)$, where the equality is realized when $\mu=\mu_T$. For points $T\in cv(F)$ with simplicial metric (where all edges have length one), we relate the geometric entropy of a current and the measure-theoretic entropy.