Explicit points on the Legendre curve III
Explicit points on the Legendre curve III
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Legendre 曲线 III 上的显式点
DOI：
10.2140/ant.2014.8.2471
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发表时间：
2014
影响因子：
1.3
通讯作者：
Douglas Ulmer
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Douglas Ulmer
我们继续研究了函数域上的Legendre椭圆曲线$y^2=x(x+1)(x+t)$ K_d=\mathbf{F}_p(\mu_d,t^{1/d})$。当$d=p^f+1$时，我们已经证明了产生秩为$d-2$的$E(K_d)$的子群$V_d$的显式点，并且具有$p$-幂指数。我们还证明了$III(E/K_d)$的有限性和一类数公式$[E(K_d):V_d]^2=|III(E/K_d)|$。在本文中，我们显式地计算$E(K_d)/V_d$和$III(E/K_d)$作为$\mathbf{Z}_p[\ mathbf{Gal}(K_d/F_p(t))]$上的模块。
We continue our study of the Legendre elliptic curve $y^2=x(x+1)(x+t)$ over function fields $K_d=\mathbf{F}_p(\mu_d,t^{1/d})$. When $d=p^f+1$, we have previously exhibited explicit points generating a subgroup $V_d$ of $E(K_d)$ of rank $d-2$ and of finite, $p$-power index. We also proved the finiteness of $III(E/K_d)$ and a class number formula: $[E(K_d):V_d]^2=|III(E/K_d)|$. In this paper, we compute $E(K_d)/V_d$ and $III(E/K_d)$ explicitly as modules over $\mathbf{Z}_p[\mathrm{Gal}(K_d/F_p(t))]$.