Group Bundle Duality
Group Bundle Duality
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群束二元性
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发表时间：
2007
期刊：
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通讯作者：
Geoff Goehle
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Geoff Goehle
本文介绍了局部紧致豪斯多夫阿贝尔群的庞特里亚金对偶性推广到局部紧致豪斯多夫阿贝尔群丛。首先，回想一下，群束只是范围和源映射重合的群群。阿贝尔群丛是其中每根纤维都是阿贝尔群的丛。当使用群束 G 时，我们将使用 X 来表示 G 的单位空间，并使用 p : G→X 来表示组合的范围和源映射。此外，我们将使用 Gx 来表示 x 上的纤维。群束与一般的群群一样，可能没有 Haar 系统，但当它们有 Haar 系统时，Haar 系统具有特殊的形式。如果 G 是具有 Haar 系统的局部紧豪斯多夫群丛，在整篇论文中用 {βx} 表示，则 β 是所有 x ∈X 的纤维 Gx 上的 Haar 测度。此时，可以方便地做出假设，即本文中的所有局部紧空间都是豪斯多夫空间。现在假设 G 是具有哈尔系统 {βx} 的阿贝尔第二可数局部紧群丛。那么 C*(G,β) 是一个可分离的阿贝尔 C* 代数，特别是 Ĝ=C*(G,β)∧ 是第二个可数局部紧豪斯多夫空间 [1，定理 1.1.1]。我们引用 [2，第 3 节] 可以看到 Ĝ 的每个元素都是 (ω,x) 形式，其中 x ∈X 且 ω 是 Gx 的 Pontryagin 对偶中的字符，表示为 (Gx)。 (ω,x) 对 Cc(G) 的作用由下式给出
This paper introduces a generalization of Pontryagin duality for locally compact Hausdorff Abelian groups to locally compact Hausdorff Abelian group bundles. First, recall that a group bundle is just a groupoid where the range and source maps coincide. An Abelian group bundle is a bundle where each fibre is an Abelian group. When working with a group bundle G, we will use X to denote the unit space of G and p : G→X to denote the combined range and source maps. Furthermore, we will use Gx to denote the fibre over x. Group bundles, like general groupoids, may not have a Haar system but when they do the Haar system has a special form. If G is a locally compact Hausdorff group bundle with Haar system, denoted by {βx} throughout the paper, then β is Haar measure on the fibre Gx for all x ∈X . At this point, it is convenient to make the standing assumption that all of the locally compact spaces in this paper are Hausdorff. Now suppose G is an Abelian, second countable, locally compact group bundle with Haar system {βx}. Then C∗(G,β) is a separable Abelian C∗algebra and in particular Ĝ=C∗(G,β)∧ is a second countable locally compact Hausdorff space [1, Theorem 1.1.1]. We cite [2, Section 3] to see that each element of Ĝ is of the form (ω,x) with x ∈X and ω a character in the Pontryagin dual of Gx, denoted (Gx). The action of (ω,x) on Cc(G) is given by