The First Slope Case of Wan's Conjecture
The First Slope Case of Wan's Conjecture
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万氏猜想的第一个斜率情况
DOI：
10.1006/ffta.2001.0349
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发表时间：
2002
影响因子：
1
通讯作者：
H. Zhu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Scholten;H. Zhu
设 d ≥ 2 且 p 与 d 互质。对于 f(x) ∈ (Zp ∩Q)[x]，设 NP1(f mod p) 表示指数和 Σ x ∈ F p` z TrF p` /Fp (f(x)) p 的 L 函数的牛顿多边形的第一个斜率。我们证明 Q 上的 d 次多项式多项式的空间 Ad 中存在 Zariski 稠密开子集 U，使得对于所有 f(x) ∈ U，我们有 limp→∞ NP1(f mod p) = 1 d 。这是万猜想的“第一坡例”。设 d ≥ 2 为整数，p 为 d 的互质素数。设 A 为 Q 上所有阶一元多项式的集合。对于任意 f(x) = x+ad−1x+ 。 。 .+a0 ∈ (Zp∩Q)[x] 并且对于任何整数 ` ≥ 1 令 S`(f) := Σ x∈F p` z TrF p` /Fp (f(x)) p 。 f(x) mod p 的 L 函数由 L(f mod p;T ) = exp (Σ∞ `=1 S`(f) T ` ` ) 定义。 Dwork-Bombieri-Grothendieck 定理 L(f mod p;T ) = 1 + b1T + 。 。 。 + bd−1T d−1 ∈ Z[zep][T ] 对于 Q 中的某个 p 单位根 zep。定义 f mod p 的牛顿多边形，用 NP(f mod p) 表示，作为 R 中点 (`, ordpb`) 的下凸包，其中 0 ≤ ` ≤ d − 1，其中我们设置 b0 = 1。它正是 多项式 L(f mod p;T )。令 NP1(f mod p) 表示其第一个斜率。将 Hodge 多边形 HP(f) 定义为 R 中点 (`, `(`+1) 2d ) 的凸包，其中 0 ≤ ` ≤ d − 1。事实证明，Newton 多边形始终位于 Hodge 多边形之上（参见[3] [6] 和 [2]）。以下猜想是由 Wan 在 2000 年秋天的伯克利数论研讨会上提出的，其一般形式将出现在[7，第 2.5 节]中。猜想1（万）。 A 中存在 Zariski 稠密开子集 U，使得对于所有 f(x) ∈ U，我们有 limp→∞NP(f mod p) = HP(f)。 d = 3 和 4 的情况分别在[6]和[4]中得到证明。还知道，如果 p == 1 mod d，则对于所有 f ∈ A，NP(f mod p) = HP(f)（参见 [1]）。在本文中，我们使用初等方法来证明该猜想的“第一斜率情况”。对于任何实数 r，令 dre 表示大于或等于 r 的最小整数。对于任何整数 N 和一个变量中的任何洛朗多项式 g(x)，我们使用 [g(x)]xN 来表示 g(x) 的 x 系数。定理 2. 设 d ≥ 2 且 p 与 d 互质。令 f(x) 为 (Zp ∩Q)[x] 中的 d 次多项式。假设 [ f(x)d p−1 d e ] xp−1 6≡ 0 mod p。如果 p > d2 + 1，则 NP1(f mod p) = ⌈ p−1 d ⌉ /(p− 1)。日期：2002年2月1日。1991年数学学科分类。 11L、14H、14M。
Let d ≥ 2 and p a prime coprime to d. For f(x) ∈ (Zp ∩Q)[x], let NP1(f mod p) denote the first slope of the Newton polygon of the L-function of the exponential sums ∑ x∈F p` ζ TrF p` /Fp (f(x)) p . We prove that there is a Zariski dense open subset U in the space Ad of degree-d monic polynomials over Q such that for all f(x) ∈ U we have limp→∞ NP1(f mod p) = 1 d . This is a “first slope case” of a conjecture of Wan. Let d ≥ 2 be an integer and p a prime coprime to d. Let A be the set of all degreed monic polynomials over Q. For any f(x) = x+ad−1x+ . . .+a0 ∈ (Zp∩Q)[x] and for any integer ` ≥ 1 let S`(f) := ∑ x∈F p` ζ TrF p` /Fp (f(x)) p . The L function of f(x) mod p is defined by L(f mod p;T ) = exp (∑∞ `=1 S`(f) T ` ` ) . It is a theorem of Dwork-Bombieri-Grothendieck that L(f mod p;T ) = 1 + b1T + . . . + bd−1T d−1 ∈ Z[ζp][T ] for some p-th root of unity ζp in Q. Define the Newton polygon of f mod p, denoted by NP(f mod p), as the lower convex hull of the points (`, ordpb`) in R for 0 ≤ ` ≤ d − 1 where we set b0 = 1. It is exactly the p-adic Newton polygon of the polynomial L(f mod p;T ). Let NP1(f mod p) denote its first slope. Define the Hodge polygon HP(f) as the convex hull in R of the points (`, `(`+1) 2d ) for 0 ≤ ` ≤ d − 1. It is proved that the Newton polygon is always lying above the Hodge polygon ( see [3] [6] and [2]). The following conjecture was proposed by Wan in the Berkeley number theory seminar in the fall of 2000, a general form of which will appear in [7, Section 2.5]. Conjecture 1 (Wan). There is a Zariski dense open subset U in A such that for all f(x) ∈ U we have limp→∞NP(f mod p) = HP(f). The cases d = 3 and 4 are proved in [6] and [4], respectively. It is also known that if p ≡ 1 mod d then NP(f mod p) = HP(f) for all f ∈ A (see [1]). In this paper we use an elementary method to prove the “first slope case” of this conjecture. For any real number r let dre denote the least integer greater than or equal to r. For any integer N and for any Laurent polynomial g(x) in one variable, we use [g(x)]xN to denote the x -coefficient of g(x). Theorem 2. Let d ≥ 2 and p a prime coprime to d. Let f(x) be a degree-d monic polynomial in (Zp ∩Q)[x]. Suppose [ f(x)d p−1 d e ] xp−1 6≡ 0 mod p. If p > d2 + 1 then NP1(f mod p) = ⌈ p−1 d ⌉ /(p− 1). Date: February 1, 2002. 1991 Mathematics Subject Classification. 11L, 14H, 14M.