Constant Mean Curvature n-noids with Platonic Symmetries
Constant Mean Curvature n-noids with Platonic Symmetries
复制标题
具有柏拉图对称性的恒定平均曲率 n-noids
DOI：
--
复制
发表时间：
2007
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
N. Schmitt
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
N. Schmitt
我们在 R 中构造了具有有限对称度量群的属零常平均曲率 (CM C) 曲面族。该构造是通过常量曲率曲面的扩展 Weierstrass 表示来实现的。对此构造的描述 (Dorfm eister-Pedit-W u [5]) 可以在 [12]、第 1 节和其他地方找到。沉浸到 R 中的构造概述如下。 (1) 用参数化单位圆 S 上的 sl2 值环中的值和单位圆盘上的某些数学行为写出势。 (2) 解方程 d = 。 (3) 设 F 为 的 Iwasawa 因式分解中的酉因数。那么F就是局部CM C沉浸的扩展框架。沉浸可以通过 Sym 公式从 F 获得。末端变换被推测为渐近到半德劳内曲面，因为它们的势是德劳内势在其末端的局部扰动。由于该融解的构造涉及求解一个具有单数的微分方程，因此构造的难度在于封闭端点。这相当于表明单数表示通过修整共轭在单位圆上可逐点同时幺正。本文中的浸入式酉化问题是通过简化为三类情形来解决的，该问题已得到解决[12]。这个想法是在势上施加对称性，使得表面的基本部分最多有三个端点。对非封闭曲面的三元组技术的修改表明，在一组合适的不等式下，基本部分的幺调是可统一的。整个沉浸的单数是基本片段的单数的力量，因此整个沉浸的单数群是可统一的。更准确地说，上述程序的实现如下。我们构造一个有理映射 u :P1z ！ P 1 u 与 P 1 z 上的电势一起，通过 u 下降到 P1u 上的电势，该电势在 u 的分支值处最多具有三个极点。这是通过取 u 为作用于 P1z 的莫比乌斯变换的有限群的不变量来实现的。通过三元技术，它们的 onodrom y 群的生成器组的特征值上的球三角不等式意味着它们的 onodrom y for 是可统一的。 和 then 之间的规范等价意味着 onodrom y for 是可统一的。随后诱导 CM C 浸入刺穿的 Riem Ann 球体。由于小行星构造是基于 trinoid 构造，因此任何工具都已经开发出来[12]。本文从关于有限对称群和不变量以及关于势及其回调的单数的引理开始。第5节解决了天文学单数可一性问题，并在定理5.7中构造了天文学。本文的其余部分与对称性有关。定理6.5表明，在适当的条件下，势的对称性会引起CM C浸没的对称性。天文学家的对称性在定理7.3中进行了计算。感谢 Franz Pedit 提供的任何有益的讨论。
W econstructfam iliesofgenus-zero constantm ean curvature(CM C)surfacesin R with nitesym m etry groups. The construction isvia the extended W eierstrassrepresentation forconstantm ean curvaturesurfaces.A description ofthisconstruction (Dorfm eister-Pedit-W u [5])can befound in [12], brie y in section 1, and elsewhere. The construction for im m ersions into R is outlined as follows. (1) W rite down a potential with values in the sl2-valued loops on the -param etrized unitcircle S and certain m erom orphicbehaviorin on the unitdisk. (2)Solve the equation d = .(3)LetF bethe unitary factorin the Iwasawa factorization of . Then F isthe extended fram e ofa localCM C im m ersion. The im m ersion can beobtained from F via a Sym form ula. Theendsoftheim m ersionsare conjectured to beasym ptotic to half-Delaunay surfaces, becausetheirpotentialsare localperturbationsofDelaunay potentialsattheirends. Sincetheconstruction oftheim m ersion involvessolving a di erentialequation which has m onodrom y,thedi culty oftheconstruction isto closetheends.Thisam ountsto showing that the m onodrom y representation is pointwise sim ultaneously unitarizable on the unit circle via conjugation by a dressing. The unitarization problem for the im m ersions in this paper is solved by reduction to the trinoid case,which is solved [12]. The idea is to im pose sym m etries on the potential in such a way that the fundam entalpiece ofthe surface has at m ost three points ends. A m odi cation ofthe trinoid technology for non-closed surfaces then shows that under a suitable setofinequalities,the m onodrom y forthe fundam entalpiece isunitarizable. The m onodrom iesforthe whole im m ersion are powersofthe m onodrom iesofthe fundam ental piece,so thatthe m onodrom y group forthe whole im m ersion isunitarizable. M ore precisely,the above program is im plem ented as follows. W e construct a rational m ap u :P1z ! P 1 u togetherwith a potential on P 1 z such that descendsvia u to a potential on P1u which has at m ost three poles at the branch values ofu. This is accom plished by taking u to be an invariantof nite group ofM obiustransform ationsacting on P1z.By trinoid technology,thesphericaltriangle inequalitieson thelogsoftheeigenvaluesofa set ofgeneratorsofthem onodrom y group im ply thatthem onodrom y for isunitarizable.The gauge equivalence between and then im pliesthatthe m onodrom y for isunitarizable. Itfollowsthat inducesa CM C im m ersion ofa punctured Riem ann sphere. Since the astronoid construction isbased on the trinoid construction,m any ofthe tools have already been developed [12]. The paper starts with lem m as on on nite sym m etry groups and invariants,and on m onodrom y for potentials and their pullbacks. section 5 solvestheastronoid m onodrom y unitarizability problem ,and theastronoidsareconstructed in Theorem 5.7. The rem ainder ofthe paper is concerned with sym m etry. Theorem 6.5 shows that the sym m etries of the potentialinduce sym m etries of the CM C im m ersion, undersuitableconditions.Thesym m etriesoftheastronoidsarecom puted in Theorem 7.3. Ithank Franz Peditform any helpfuldiscussions.
影响因子：
1.8
作者：
M. Kilian;W. Rossman;N. Schmitt
通讯作者：
M. Kilian;W. Rossman;N. Schmitt
SLn(C) 值映射的同时幺正性和常数平均曲率 k-noid 单一性
DOI：
--
发表时间：
2006
期刊：
Ann.della Scuola Norm.Sup.Pisa 5
影响因子：
--
作者：
W.Rossman;N.Schmitt
通讯作者：
N.Schmitt