MINIMAX ESTIMATORS FOR A MULTINORMAL PRECISION MATRIX
MINIMAX ESTIMATORS FOR A MULTINORMAL PRECISION MATRIX
复制标题
DOI：
10.1016/0047-259x(77)90079-3
复制
发表时间：
1977-01-01
影响因子：
1.6
通讯作者：
HAFF, LR
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
HAFF, LR
设S p× p ~ Wishart （Σ， k）， Σ unknown, k> p+ 1。给出了经验贝叶斯损失函数l1的极大极小估计Σ−1；l2，一个标准损失函数（r1≡E （lv∣Σ）， i= 1,2）。估计量为Σ n−1= a S−1+ br (S) I p× p, a, b≥0,r（·）a在r p (p+ 2) 2上的泛函。斯坦·埃夫隆,莫里斯研究了特殊情况下Σ−1 = S−1 (EΣ̂k p−−−1 =Σ−1)和Σ̂1−1 = S−1 + (b / tr S)我肯定,a, b。从他们的工作R 1(Σ−1,Σ̂1−1;S)≤1 R(Σ−1,Σ̂−1,S)(∀Σ),p = k−−1,b = p 2 + p−2;然而,我们证明R 2(Σ−1Σ̂−1,S)≤2 R(Σ−1,Σ̂1−1;S)(∀Σ)。反转是令人惊讶的，因为l1 （Σ−1，Σ²²−1；S）→l2 （Σ−1，Σ²²−1；S） ae（对于特定的l2）。设R（紧）∧S， S是px × p个psd矩阵的集合。关于函数F px p: R→S的一个“散度定理”暗示了R i， i= 1,2的恒等式。然后,条件为R i(Σ−1,Σ̂−1;S)≤R我(Σ−1,Σ̂1−1;S)≤R我(Σ−1,Σ̂−1;S)(∀Σ),i = 1, 2。我们的大多数结果都是关于r (S)= t (U)/tr (S)， U= p∣S∣1/p/tr (S)的估计量。
Let S p× p∼ Wishart (Σ, k), Σ unknown, k> p+ 1. Minimax estimators of Σ− 1 are given for L 1, an Empirical Bayes loss function; and L 2, a standard loss function (R i≡ E (L i∣ Σ), i= 1, 2). The estimators are Σ ̂− 1= a S− 1+ br (S) I p× p, a, b≥ 0, r (·) a functional on R p (p+ 2) 2. Stein, Efron, and Morris studied the special cases Σ a− 1= a S− 1 (E Σ ̂ k− p− 1− 1= Σ− 1) and Σ ̂ 1− 1= a S− 1+(b/tr S) I, for certain, a, b. From their work R 1 (Σ− 1, Σ ̂ 1− 1; S)≤ R 1 (Σ− 1, Σ ̂ a− 1; S)(∀ Σ), a= k− p− 1, b= p 2+ p− 2; whereas, we prove R 2 (Σ− 1 Σ ̂ a− 1; S)≤ R 2 (Σ− 1, Σ ̂ 1− 1; S)(∀ Σ). The reversal is surprising because L 1 (Σ− 1, Σ ̂ 1− 1; S)→ L 2 (Σ− 1, Σ ̂ 1− 1; S) ae (for a particular L 2). Assume R (compact)⊂ S, S the set of p× p psd matrices. A “divergence theorem” on functions F p× p: R→ S implies identities for R i, i= 1, 2. Then, conditions are given for R i (Σ− 1, Σ ̂− 1; S)≤ R i (Σ− 1, Σ ̂ 1− 1; S)≤ R i (Σ− 1, Σ ̂ a− 1; S)(∀ Σ), i= 1, 2. Most of our results concern estimators with r (S)= t (U)/tr (S), U= p∣ S∣ 1/p/tr (S).