Representations of the braid group B_3 and of SL(2,Z)
Representations of the braid group B_3 and of SL(2,Z)
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编织组 B_3 和 SL(2,Z) 的表示
DOI：
10.2140/pjm.2001.197.491
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发表时间：
1999
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
H. Wenzl
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Imre Tuba;H. Wenzl
本文给出了代数闭域上维数为5的辫群B_3的简单表示的完全分类。特别地，我们证明了一个简单的d维表示$\rho：B_3 \to GL（V）$是由特征值$\rhoda_1，\rhoda_2，... \lambda_d$的生成器的图像为d= 2，3和一个选择$\delta=\sqrt{\det \rho（\sigma_1）}$为d=4或选择$\delta=\sqrt[5]{\det \rho（\sigma_1）}$为d=5。当特征值和$\delta$不是某些多项式$Q_{ij}^{（d）}$的根时，我们也证明了这种表示存在。在这种情况下，我们构造矩阵，生成元通过这些矩阵作用于V。
作为我们的技术的应用，我们还获得了非平凡的q版本的Deligne的一些公式的尺寸表示的例外李群。
We give a complete classification of simple representations of the braid group B_3 with dimension $\leq 5$ over any algebraically closed f ield. In particular, we prove that a simple d-dimensional representation $\rho: B_3 \to GL(V)$ is determined up to isomorphism by the eigenvalues $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_d$ of the image of the generators for d=2,3 and a choice of a $\delta=\sqrt{\det \rho(\sigma_1)}$ for d=4 or a choice of $\delta=\sqrt[5]{\det \rho(\sigma_1)}$ for d=5. We also s howed that such representations exist whenever the eigenvalues and $\delta$ are not roots of certain polynomials $Q_{ij}^{(d)}$, which are explicitly given. In this case, we construct the matrices via which the generators act on V.
As an application of our techniques, we also obtain nontrivial q-versions of some of Deligne's formulas for dimensions of representations of exceptional Lie groups.