The analogue of Erdős–Turán conjecture in Zm☆
The analogue of Erdős–Turán conjecture in Zm☆
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DOI：
10.1016/j.jnt.2008.03.005
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发表时间：
2008-09
影响因子：
0.7
通讯作者：
Yong-Gao Chen
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Yong-Gao Chen
给定一个集合A <$N，设σA（n）表示（a，a′）∈A×A使得a+a′=n的序偶的个数.著名的埃尔德什-图兰猜想指出，如果A <$N使得对所有足够大的n，σA（n）<$1，则表示函数σA（n）必须是无界的。对于任意正整数m，设Rm是最小正整数r，使得存在集合A <$Zm，其中A+A= Z且σA（n）<$r. Ruzsa方法[I.Z. Ruzsa，一个公正的基础，Monatsh. Math.109（1990）145-151]意味着Rm必须是有界的。很高兴能打到鲁莎夫人的电话在本文中，我们证明了所有的Ruzsa数Rm <$288。这改进了先前的界限Rm = 5120。提出了几个相关的开放问题。视频摘要：有关本文的视频摘要，请访问http://www.youtube.com/watch? v=hgDwkwg_LzY。
Given a set A⊂N let σA(n) denote the number of ordered pairs (a,a′)∈A×A such that a+a′=n. The celebrated Erdős–Turán conjecture states that if A⊂N such that σA(n)⩾1 for all sufficiently large n, then the representation function σA(n) must be unbounded. For each positive integer m, let Rmbe the least positive integer r such that there exists a set A⊆Zmwith A+A=Zmand σA(n)⩽r. Ruzsa's method in [I.Z. Ruzsa, A just basis, Monatsh. Math. 109 (1990) 145–151] implies that Rmmust be bounded. It is pleasure to call Rma Ruzsa's number. In this paper we prove that all Ruzsa's numbers Rm⩽288. This improves the previous bound Rm⩽5120. Several related open problems are proposed. VIDEO ABSTRACT: For a video summary of this paper, please visit http://www.youtube.com/watch?v=hgDwkwg_LzY.