ESTIMATION OF INTEGRAL FUNCTIONALS OF A DENSITY
ESTIMATION OF INTEGRAL FUNCTIONALS OF A DENSITY
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DOI：
10.1214/aos/1176324452
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发表时间：
1995-02-01
影响因子：
4.5
通讯作者：
MASSART, P
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
BIRGE, L;MASSART, P
设φ是k + 2个变量的光滑函数。本文研究了T（f）=整数φ（f（x），f '（x），…，f（（k））（x），x）dx，当f属于某类光滑密度s时.证明了当s大于或等于2k + 1/4时，可以定义T（f）在cap（n）上的一个估计量（T），基于ni.i.d.密度f在真实的直线上的观测，它以半参数速率1/root n收敛。另一方面，当s < 2k + 1/4时，T（f）不能以比n（-gamma）更快的速率估计，其中gamma = 4（s-k）/[4s + 1]。我们还将对多维情形提供一些扩展。这些结果扩展了Levit、Bickel和Ritov以及Donoho和Nussbaum关于二次泛函估计的工作。
Let phi be a smooth function of k + 2 variables. We shall investigate in this paper the rates of convergence of estimators of T(f) = integral phi(f(x), f'(x),..., f((k))(x), x) dx when f belongs to some class of densities of smoothness s. We prove that, when s greater than or equal to 2k + 1/4, one can define an estimator (T) over cap(n) of T(f), based on n i.i.d. observations of density f on the real line, which converges at the semiparametric rate 1/root n. On the other hand, when s < 2k + 1/4, T(f) cannot be estimated at a rate faster than n(-gamma) with gamma = 4(s - k)/[4s + 1]. We shall also provide some extensions to the multidimensional case. Those results extend previous works of Levit, of Bickel and Ritov and of Donoho and Nussbaum on estimation of quadratic functionals.