Zero-one generation laws for finite simple groups
Zero-one generation laws for finite simple groups
复制标题
有限单群的零一生成定律
DOI：
--
复制
发表时间：
2018
影响因子：
1
通讯作者：
A. Shalev
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
R. Guralnick;M. Liebeck;Frank Lubeck;A. Shalev
令$G$为$GF(p)$（$p$素数）代数闭包上的简单代数群，并令$G(q)$表示$GF(q)$上相应的李型有限群，其中$q$是$p$的幂。对于某些$r\ge 2$，令$X$ 是$G^r$ 的不可约子变体。我们证明 $G(q)$ 由 $X(q) = X\cap G(q)^r$ 中的随机 $r$ 元组生成的概率的零一定律：随着 $q$ 增加（通过 $q$ 的值，其中 $X$ 在定义 $G(q)$ 的 Frobenius 态射下稳定的 $q$ 的值），该概率的极限是 1 或 0。事实上，为了确保这个极限为 1，只需将 $G(q)$ 设为由 $X(q)$ 中的 $r$ 元组为两个足够大的 $q$ 值生成。我们还证明了该结果的一个版本，其中允许基本特征发生变化。
在我们的主要应用中，我们将这些结果应用于 $r=2$ 和不可约子簇 $X = C\times D$ 的情况，它是 $G$ 中有限阶元素的两个共轭类的乘积。这导致了异常李类型的有限简单群 $G(q)$ 的随机 $(2,3)$ 生成的新结果：假设 $G(q)$ 不是 Suzuki 群，我们表明随机对合和 3 阶随机元素生成 $G(q)$ 的概率趋向于 $1$，即 $q \rightarrow \infty$。将此与经典群的先前结果相结合，这表明有限简单群（除了 Suzuki 群和 $PSp_4(q)$）是随机 $(2,3)$ 生成的。
我们的工具包括代数几何、代数群的表示论和李型有限群的特征论。
Let $G$ be a simple algebraic group over the algebraic closure of $GF(p)$ ($p$ prime), and let $G(q)$ denote a corresponding finite group of Lie type over $GF(q)$, where $q$ is a power of $p$. Let $X$ be an irreducible subvariety of $G^r$ for some $r\ge 2$. We prove a zero-one law for the probability that $G(q)$ is generated by a random $r$-tuple in $X(q) = X\cap G(q)^r$: the limit of this probability as $q$ increases (through values of $q$ for which $X$ is stable under the Frobenius morphism defining $G(q)$) is either 1 or 0. Indeed, to ensure that this limit is 1, one only needs $G(q)$ to be generated by an $r$-tuple in $X(q)$ for two sufficiently large values of $q$. We also prove a version of this result where the underlying characteristic is allowed to vary.
In our main application, we apply these results to the case where $r=2$ and the irreducible subvariety $X = C\times D$, a product of two conjugacy classes of elements of finite order in $G$. This leads to new results on random $(2,3)$-generation of finite simple groups $G(q)$ of exceptional Lie type: provided $G(q)$ is not a Suzuki group, we show that the probability that a random involution and a random element of order 3 generate $G(q)$ tends to $1$ as $q \rightarrow \infty$. Combining this with previous results for classical groups, this shows that finite simple groups (apart from Suzuki groups and $PSp_4(q)$) are randomly $(2,3)$-generated.
Our tools include algebraic geometry, representation theory of algebraic groups, and character theory of finite groups of Lie type.
影响因子：
1
作者：
Nina E. Menezes;M. Quick;C. Roney-Dougal
通讯作者：
Nina E. Menezes;M. Quick;C. Roney-Dougal
简单代数群和李代数中的单能类和幂零类
DOI：
--
发表时间：
2012
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
Liebeck, Martin W.;Seitz, Gary M.
通讯作者：
Seitz, Gary M.