Julia Sets in Parameter Spaces
Julia Sets in Parameter Spaces
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参数空间中的 Julia 设置
DOI：
10.1007/pl00005568
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发表时间：
2001
影响因子：
2.4
通讯作者：
Christian Henriksen
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Xavier Buff;Christian Henriksen
摘要：给定模数为 1 的复数 λ，我们证明单参数族 {fb(z)=λz+bz2+z3}b∈ℂ 的分叉轨迹包含二次 Julia 集 J(λz+z2) 的拟共形副本。作为推论，我们表明，当 Julia 集 J(λz+z2) 不是局部连通时（例如，当 z↦λz+z2 的 Cremer 点为 0 时），分叉轨迹不是局部连通的。据我们所知，这是 1 维复杂解析参数空间的第一个例子，具有连通但非局部连通的分叉轨迹。我们还表明，模数为 1 的复数 λ 的集合（其中至少一个参数射线具有非平凡的累加集）包含 S1 的稠密 Gδ 子集。
Abstract: Given a complex number λ of modulus 1, we show that the bifurcation locus of the one parameter family {fb(z)=λz+bz2+z3}b∈ℂ contains quasi-conformal copies of the quadratic Julia set J(λz+z2). As a corollary, we show that when the Julia set J(λz+z2) is not locally connected (for example when z↦λz+z2 has a Cremer point at 0), the bifurcation locus is not locally connected. To our knowledge, this is the first example of complex analytic parameter space of dimension 1, with connected but non-locally connected bifurcation locus. We also show that the set of complex numbers λ of modulus 1, for which at least one of the parameter rays has a non-trivial accumulation set, contains a dense Gδ subset of S1.