Clark measures on the torus
Clark measures on the torus
复制标题
环面的克拉克测量
DOI：
--
复制
发表时间：
2019
影响因子：
1
通讯作者：
Evgueni Doubtsov
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Evgueni Doubtsov
让<inline-formula content-type="math/mathml
<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper D">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">mathbb {D}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> denote the unit disc of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C">
<mml:semantics>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">mathbb {C}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> and let <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper T equals partial-differential double-struck upper D">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">mathbb {T}= partial mathbb {D}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. Given a holomorphic function <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi colon double-struck upper D Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper D">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi>
<mml:mo>:</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">varphi : mathbb {D}^n o mathbb {D}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 2">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥<!-- ≥ --></mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">nge 2</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, we study the corresponding family <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma Subscript alpha Baseline left-bracket phi right-bracket">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi>
<mml:mi>α<!-- α --></mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">sigma _alpha [varphi ]</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha element-of double-struck upper T">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>α<!-- α --></mml:mi>
<mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">alpha in mathbb {T}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, of Clark measures on the torus <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper T Superscript n">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">mathbb {T}^n</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. If <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi">
<mml:semantics>
<mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">varphi</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is an inner function, then we introduce and investigate related isometric operators <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Subscript alpha">
<mml:semantics>
<mml:msub>
<mml:mi>T</mml:mi>
<mml:mi>α<!-- α --></mml:mi>
</mml:msub>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">T_alpha</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> mapping analogs of model spaces into <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared left-parenthesis sigma Subscript alpha Baseline right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi>
<mml:mi>α<!-- α --></mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">L^2(sigma _alpha )</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha element-of double-struck upper T">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>α<!-- α --></mml:mi>
<mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">alpha in mathbb {T}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>