Using a bihomogeneous resultant to find the singularities of rational space curves
Using a bihomogeneous resultant to find the singularities of rational space curves
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使用双齐次合力找到有理空间曲线的奇点
DOI：
10.1016/j.jsc.2012.09.005
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发表时间：
2013-06
影响因子：
0.7
通讯作者：
Ron Goldman
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Xiaoran Shi;Xiaohong Jia;Ron Goldman
我们提供了一种新的技术来检测有理空间曲线的奇异性。给定空间曲线的有理参数化，我们首先计算参数化的μ-基。从这个μ-基，我们生成三个不同的双度的平面代数曲线，其交点对应于奇点的参数。为了找到这些交点，我们构造了一个新的稀疏结果矩阵，这三个二元多项式。然后，我们通过对所得矩阵应用高斯消去法来计算对应于奇点的参数值。设ν Q表示奇点Q的重数，n表示曲线的次数。我们发现当∑νQ <$2n −3时，高斯消去后的最后一个非零行表示一个一元多项式，其根正好是具有正确重数的奇点的参数值。否则，最后两个非零行表示两个二元多项式，其公共根提供奇点的参数值。我们还证明了，如果R是这个结式矩阵，则size（R）−rank（R）给出了有理空间曲线的所有奇点（包括无穷近奇点）的总重数∑νQ（νQ −1），并且我们给出了有理空间曲线的所有奇点的总重数表达式∑νQ（νQ−1）的界。为了验证我们的结果，我们提出了几个例子来说明我们的方法。
We provide a new technique to detect the singularities of rational space curves. Given a rational parametrization of a space curve, we first compute a μ-basis for the parametrization. From this μ-basis we generate three planar algebraic curves of different bidegrees whose intersection points correspond to the parameters of the singularities. To find these intersection points, we construct a new sparse resultant matrix for these three bivariate polynomials. We then compute the parameter values corresponding to the singularities by applying Gaussian elimination to this resultant matrix. Let νQdenote the multiplicity of the singular point Q, and let n be the degree of the curve. We find that when ∑νQ⩽2n−3, the last nonzero row after Gaussian elimination represents a univariate polynomial whose roots are exactly the parameter values of the singularities with the correct multiplicity. Otherwise the last two nonzero rows represent two bivariate polynomials whose common roots provide the parameter values of the singularities. We also show that if R is this resultant matrix, then size(R)−rank(R) gives the total multiplicity ∑νQ(νQ−1) of all the singular points including the infinitely near singular points of a rational space curve and we provide bounds on the expression ∑νQ(νQ−1) for the total multiplicity of all the singular points of a rational space curve. To verify our results, we present several examples to illustrate our methods.
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有理空间曲线的轴向移动平面和奇点
影响因子：
1.5
作者：
Haohao Wang;Xiaohong Jia;Ron Goldman
通讯作者：
Ron Goldman
DOI：
10.1007/978-0-8176-4771-1
发表时间：
1994-03
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
I. M. Gelʹfand;M. Kapranov;A. Zelevinsky
通讯作者：
I. M. Gelʹfand;M. Kapranov;A. Zelevinsky
DOI：
10.1016/s0167-8396(01)00087-5
发表时间：
2002-02
期刊：
Comput. Aided Geom. Des.
影响因子：
--
作者：
Falai Chen;T. Sederberg
通讯作者：
Falai Chen;T. Sederberg
影响因子：
64.8
作者：
G. Fischer;L. Kay
通讯作者：
G. Fischer;L. Kay
DOI：
10.1007/978-1-4612-5350-1
发表时间：
1995-03
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
D. Eisenbud
通讯作者：
D. Eisenbud