On Strichartz and eigenfunction estimates for low regularity metrics
On Strichartz and eigenfunction estimates for low regularity metrics
复制标题
关于低规律性度量的 Strichartz 和特征函数估计
DOI：
10.4310/mrl.1994.v1.n6.a9
复制
发表时间：
1994
影响因子：
1
通讯作者：
C. Sogge
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Hart F. Smith;C. Sogge
抽象的。我们给出了n ≥ 3维的波算子的例子，这些例子包括Lipschitz和C1，α度量，其中0 <α< 1，我们表示在梯度上满足α阶H？lder条件。因此，我们得出结论，在H？old正则性尺度上，对于n ≥ 2维的Lipschitz或C1，α系数的二阶Lipschitz算子，本文的构造也给出了C ∞系数算子的某些特征函数估计不成立的结论。1.在这里，我们称之为R 1+ n上的广义本文证明了如下情形（见[St1，2]）：若u解系统方程u = F ∈ L2（n +1）n +3（R1 + n），u（0，·）= f∈ H12（Rn），u（0，·）= g∈ H − 12（Rn），则下列估计成立（1.1）uL2（n +1）n− 1（R1 + n
Abstract. Weproduce,fordimensions n ≥ 3,examplesofwaveoperatorsforwhichtheStrichartzestimatesfail.TheexamplesincludebothLipschitzand C 1 ,α metrics,foreach0 <α< 1,wherebythelatterwemeanthatthe gradient satisfies a H¨older condition of order α . We thus concludethat,onthescaleofH¨olderregularity,anassumptionofatleast2boundedderivativesforthemetric(i.e., C 1 , )isnecessaryinordertoassurethattheStrichartzestimateshold.Thesameconstructionalsoyields,fordimensions n ≥ 2, secondorderellipticoperatorswithLipschitzor C 1 ,α coefficientsforwhichcertaineigenfunctionestimates,establishedbythesecondauthorforoperatorswith C ∞ coefficients,failtohold. 1. StrichartzEstimatesWerecallheretheglobalversionoftheStrichartzestimatesonR 1+ n ,fortheEuclideanwaveoperator 2= ∂ t − nj =1 ∂ 2 j . Thesestate(see[St1,2])that,if u solvesthesystemofequations u = F ∈ L 2( n +1) n +3 (R 1+ n ) ,u (0 ,· )= f∈ H 12 (R n ) ,∂ t u (0 ,· )= g∈ H − 12 (R n ) , thenthefollowingestimateholds(1.1) u L 2( n +1) n− 1 (R 1+