Efficient estimation of smooth functionals in Gaussian shift models
Efficient estimation of smooth functionals in Gaussian shift models
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DOI：
10.1214/20-aihp1081
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发表时间：
2018-10
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
V. Koltchinskii;M. Zhilova
中科院分区：
文献类型：
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作者：
V. Koltchinskii;M. Zhilova
研究了一类参数光滑泛函的估计问题 $\theta $ 高斯位移模型 $$ X=\theta +\xi,\ \theta \in E, $$ 在哪里 $E$ 是可分离的巴拿赫空间 $X$ 是一个未知向量的观测吗 $\theta$ 非高斯噪声 $\xi$ 具有零均值和已知协方差算子 $\Sigma.$ 特别地，我们开发了估计器 $T(X)$ 的 $f(\theta)$ 对于函数 $f:E\mapsto {\mathbb R}$ 持有人平滑度 $s>0$ 这样 $$ \sup_{\|\theta\|\leq 1} {\mathbb E}_{\theta}(T(X)-f(\theta))^2 \lesssim \Bigl(\|\Sigma\| \vee ({\mathbb E}\|\xi\|^2)^s\Bigr)\wedge 1, $$ 在哪里 $\|\Sigma\|$ 算子的范数是 $\Sigma,$ 并表明，至少在标准高斯偏移模型($E={\mathbb R}^d$ 配备了欧几里得规范， $\xi =\sigma Z,$ $Z\sim {\mathcal N}(0;I_d)$）. 此外，我们确定了平滑度的尖锐阈值 $s$ 功能性的 $f$ 这样，对所有人来说 $s$ 超过阈值， $f(\theta)$ 是否可以用均方错误率有效地估计顺序 $\|\Sigma\|$ 在“小噪音”设置(即，当 ${\mathbb E}\|\xi\|^2$ 小)。有效估计量的构造关键是基于“自举链”的偏置减少方法。结果可以应用于各种特殊的高维和无限维高斯模型（用于向量，矩阵和函数数据）。
We study a problem of estimation of smooth functionals of parameter $\theta $ of Gaussian shift model $$ X=\theta +\xi,\ \theta \in E, $$ where $E$ is a separable Banach space and $X$ is an observation of unknown vector $\theta$ in Gaussian noise $\xi$ with zero mean and known covariance operator $\Sigma.$ In particular, we develop estimators $T(X)$ of $f(\theta)$ for functionals $f:E\mapsto {\mathbb R}$ of Holder smoothness $s>0$ such that $$ \sup_{\|\theta\|\leq 1} {\mathbb E}_{\theta}(T(X)-f(\theta))^2 \lesssim \Bigl(\|\Sigma\| \vee ({\mathbb E}\|\xi\|^2)^s\Bigr)\wedge 1, $$ where $\|\Sigma\|$ is the operator norm of $\Sigma,$ and show that this mean squared error rate is minimax optimal (up to a logarithmic factor) at least in the case of standard Gaussian shift model ($E={\mathbb R}^d$ equipped with the canonical Euclidean norm, $\xi =\sigma Z,$ $Z\sim {\mathcal N}(0;I_d)$). Moreover, we determine a sharp threshold on the smoothness $s$ of functional $f$ such that, for all $s$ above the threshold, $f(\theta)$ can be estimated efficiently with a mean squared error rate of the order $\|\Sigma\|$ in a "small noise" setting (that is, when ${\mathbb E}\|\xi\|^2$ is small). The construction of efficient estimators is crucially based on a "bootstrap chain" method of bias reduction. The results could be applied to a variety of special high-dimensional and infinite-dimensional Gaussian models (for vector, matrix and functional data).