Quadratic Gorenstein rings and the Koszul property I
Quadratic Gorenstein rings and the Koszul property I
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DOI：
10.1090/tran/8214
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发表时间：
2019-03
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Matthew Mastroeni;H. Schenck;M. Stillman
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Matthew Mastroeni;H. Schenck;M. Stillman
令 $R$ 为二次曲面表示的域上的标准分级 Gorenstein 代数。 Conca、Rossi 和 Valla 证明，如果 $\mathrm{reg}\, R \leq 2$ 或 $\mathrm{reg}\, = 3$ 且 $c= \mathrm{codim}\, R \leq 4$，则这样的环是 Koszul，并且他们询问这对于一般情况下 $\mathrm{reg}\, R = 3$ 是否成立。我们在非 Koszul 二次 Cohen-Macaulay 环 $R$ 上确定了充分条件，保证 Nagata 理想化 $\tilde{R} = R \ltimes \omega_R(-a-1)$ 是非 Koszul 二次 Gorenstein 环。我们用它来否定地回答 Conca-Rossi-Valla 的问题，为所有 $c \geq 9$ 构建正则性为 3 的非 Koszul 二次 Gorenstein 环。
Let $R$ be a standard graded Gorenstein algebra over a field presented by quadrics. Conca, Rossi, and Valla have shown that such a ring is Koszul if $\mathrm{reg}\, R \leq 2$ or if $\mathrm{reg}\, = 3$ and $c= \mathrm{codim}\, R \leq 4$, and they ask whether this is true for $\mathrm{reg}\, R = 3$ in general. We determine sufficient conditions on a non-Koszul quadratic Cohen-Macaulay ring $R$ that guarantee the Nagata idealization $\tilde{R} = R \ltimes \omega_R(-a-1)$ is a non-Koszul quadratic Gorenstein ring. We use this to negatively answer the question of Conca-Rossi-Valla, constructing non-Koszul quadratic Gorenstein rings of regularity 3 for all $c \geq 9$.