Probabilistic Saturations and Alt’s Problem
Probabilistic Saturations and Alt’s Problem
复制标题
概率饱和和 Alt 问题
DOI：
10.1080/10586458.2020.1740835
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发表时间：
2020
影响因子：
0.5
通讯作者：
Helmer, Martin
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Hauenstein, Jonathan D.;Helmer, Martin
Alt的问题，制定于1923年，是计算的数量四杆连杆机构的连杆曲线插值九个一般点的平面。这个问题可以被表述为计算一个多项式方程组的解的个数，该方程组首先由Wampler，Morgan和Sommese在1992年使用同伦延拓数值求解。由于仍然没有一个证明，所有的解决方案都得到了，我们认为上界Alt的问题，通过计数的解决方案以外的基础轨迹的系统产生的一般线性组合的多项式。特别是，我们推导出有效的符号和数值方法研究这样的系统，使用概率饱和，可以使用有限域和浮点计算。我们给出了有限域的大小上的界限，以达到所需的确定性水平。这些方法也可以应用到许多其他问题中出现类似的系统，如计算的体积牛顿Okounkov机构和计算相交理论不变量，包括欧拉特征，陈类，和塞格雷类。
Alt’s problem, formulated in 1923, is to count the number of four-bar linkages whose coupler curve interpolates nine general points in the plane. This problem can be phrased as counting the number of solutions to a system of polynomial equations which was first solved numerically using homotopy continuation by Wampler, Morgan, and Sommese in 1992. Since there is still not a proof that all solutions were obtained, we consider upper bounds for Alt’s problem by counting the number of solutions outside of the base locus to a system arising as the general linear combination of polynomials. In particular, we derive effective symbolic and numeric methods for studying such systems using probabilistic saturations that can be employed using both finite fields and floating-point computations. We give bounds on the size of finite field required to achieve a desired level of certainty. These methods can also be applied to many other problems where similar systems arise such as computing the volumes of Newton-Okounkov bodies and computing intersection theoretic invariants including Euler characteristics, Chern classes, and Segre classes.
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