THE COTANGENT COMPLEX OF A MORPHISM
THE COTANGENT COMPLEX OF A MORPHISM
复制标题
态射的余切复形
DOI：
10.1090/s0002-9947-1967-0209339-1
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发表时间：
1967
影响因子：
1.3
通讯作者：
M. Schlessinger
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
S. Lichtenbaum;M. Schlessinger
（参见 Der 的 ?1.1）。我们定义函子 Ti(B/A, M) 和 Ti(B/A, M) i=0, 1, 2（对于任何 B 模 M），使得 TO(B/A, M) = QB/A 0B M 和 TO(B/A, M) = DerA(B, M)，并且 Ti（或 Ti）适合延伸 (0.3)（或 (0.4)）的九项精确序列。群 Ti 和 Ti 是通过取三项复形（B 在 A 上的余切复形）的同调和上同调而形成的。此外，在适当的有限性条件下，函子 T1(B/A, -)（分别为 T1(B/A, .)）的消失相当于 B 在 A 上“平滑”（以前为“简单”），以及 T2(B/A, *)（分别为 T2(B/A, -)）的消失等价于 B 是“A 上的局部完全交集”。在 3 中讨论了各种非奇性的雅可比准则，作为这些准则的自然结果，在 4 中我们将函子 Ti 应用于无穷小的变形及其障碍，在 5 中我们解释了 Ti 在格洛腾迪克-黎曼-罗赫定理的重新表述中的作用。交换代数的同调和上同调理论，并获得了我们在本文中证明的一些结果，但是，由于我们的定义与先前作者的定义不同（尽管在某些情况下等效），因此我们有
(see ?1.1 for Der). We define functors Ti(B/A, M) and Ti(B/A, M) i=0, 1, 2 (for any B-module M) such that TO(B/A, M) = QB/A 0B M and TO(B/A, M) = DerA(B, M), and the Ti (resp. Ti) fit into nine term exact sequences extending (0.3) (resp. (0.4)). The groups Ti and Ti are formed by taking homology and cohomology of a three term complex, the Cotangent Complex of B over A. Also, under suitable finiteness conditions, the vanishing of the functor T1(B/A, -) (resp. T1(B/A, .)) is equivalent to B being "smooth" (formerly "simple") over A, and the vanishing of T2(B/A, *) (resp. T2(B/A, -) is equivalent to B being a "locally complete intersection over A." These and other vanishing criteria are discussed in ?3. The Jacobian criterion for nonsingularity of a variety is obtained as a natural consequence of these criteria. In ?4 we apply the functors Ti to the study of infinitesimal deformations, and obstructions thereto. In ?5 we explain the role of the Ti in a reformulation of the Grothendieck-Riemann-Roch Theorem. Many other authors have studied, in many different guises, the homology and cohomology theories of commutative algebras, and have obtained some of the results which we prove in this paper. However, since our definitions are not the same (although in some cases equivalent to) those of previous authors, we have
DOI：
10.1090/s0002-9947-1962-0142607-6
发表时间：
1962-02
影响因子：
1.3
作者：
D. Harrison
通讯作者：
D. Harrison