Polynomial 6j–symbols and states sums
Polynomial 6j–symbols and states sums
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多项式 6j – 符号和状态和
DOI：
10.2140/agt.2011.11.1821
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发表时间：
2009
影响因子：
0.7
通讯作者：
Bertrand Patureau
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Nathan Geer;Bertrand Patureau
对于2 r阶单位根q，给出了一族系数在Z[q]中的三元Laurent多项式J_{i，j，k}的显式表达式，它编码了U_qsl_2的幂零表示的6 j-符号.对于给定的阿贝尔群G，我们利用它们来产生一个四元组（紧3流形M，M内的链L，H1（M，Z）中的同调类h1\inH2（M，G）中的同调类h2\inH1（M，Z））的状态和不变量τ ^r（M，L，h1，h2），其值在与G相关的环R中.这些公式是通过“skein "微积分建立的，作为[arXiv：0711.4229]中引入的修改维数理论的应用。对于定向3-流形M，不变量与来自U_qsl_2的幂零表示范畴的在[arXiv：0910.1624]中定义的TV（M，L，f\in H^1（M，C^*））相关。他们将它们改进为TV（M，L，f）= Sum_h τ ^r（M，L，h，f '）其中f'对应于同构为H_2（M，C^*）~ H^1（M，C^*）的f。
For q a root of unity of order 2r, we give explicit formulas of a family of 3-variable Laurent polynomials J_{i,j,k} with coefficients in Z[q] that encode the 6j-symbols associated with nilpotent representations of U_qsl_2. For a given abelian group G, we use them to produce a state sum invariant tau^r(M,L,h_1,h_2) of a quadruplet (compact 3-manifold M, link L inside M, homology class h_1\in H_1(M,Z), homology class h_2\in H_2(M,G)) with values in a ring R related to G. The formulas are established by a ''skein'' calculus as an application of the theory of modified dimensions introduced in [arXiv:0711.4229]. For an oriented 3-manifold M, the invariants are related to TV(M,L,f\in H^1(M,C^*)) defined in [arXiv:0910.1624] from the category of nilpotent representations of U_qsl_2. They refine them as TV(M,L,f)= Sum_h tau^r(M,L,h,f') where f' correspond to f with the isomorphism H_2(M,C^*) ~ H^1(M,C^*).