Numerical Estimation of Coercivity Constants for Boundary Integral Operators in Acoustic Scattering
Numerical Estimation of Coercivity Constants for Boundary Integral Operators in Acoustic Scattering
复制标题
声散射边界积分算子矫顽力常数的数值估计
DOI：
10.1137/100788483
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发表时间：
2011
影响因子：
2.9
通讯作者：
Betcke T
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Betcke T
强制性是证明Hilbert空间中变分问题解的存在唯一性的一个重要概念。但是，虽然双曲性估计是众所周知的许多变分问题所产生的偏微分方程，他们仍然是一个开放的问题，在边界积分算子所产生的声散射问题的背景下，严格的双曲性结果迄今为止只建立在单位圆和球上的组合积分算子。即使在这些特殊情况下，非线性仍然成立的事实也许令人惊讶，因为亥姆霍兹问题的公式通常被认为是不确定的。在这种情况下，调查的主要动机是，它有可能给出误差估计的Galerkin方法，这是明确的wavenumberk和有效的，无论使用的近似空间，因此，他们适用于混合渐近数值方法最近开发的高频情况。一种解释非线性的方法是考虑算子的数值范围。数值域是谱理论中的一个成熟工具，并且存在近似有限维矩阵的数值域的算法。因此，我们可以用边界积分算子的伽辽金投影来近似原算子的数值范围。我们证明了收敛估计的数值范围的Galerkin投影的一般有界线性算子的Hilbert空间，以证明这种方法。通过计算几个有趣的凸，非凸，光滑和多边形域的声散射的组合积分算子的数值范围，我们数值研究了不同波数的双曲性估计。我们发现，bavity持有，一致的wavenumberk，为各种各样的领域。最后，我们考虑了一个陷阱域，其中存在共振（也称为散射极点）非常接近的真实的线，以证明对于一定的波数k的双折射率似乎强烈依赖于最近的共振的距离。
Coercivity is an important concept for proving existence and uniqueness of solutions to variational problems in Hilbert spaces. But while coercivity estimates are well known for many variational problems arising from partial differential equations, they are still an open problem in the context of boundary integral operators arising from acoustic scattering problems, where rigorous coercivity results have so far only been established for combined integral operators on the unit circle and sphere. The fact that coercivity holds, even in these special cases, is perhaps surprising, as formulations of Helmholtz problems are generally thought to be indefinite. The main motivation for investigating coercivity in this context is that it has the potential to give error estimates for the Galerkin method which are both explicit in the wavenumberkand valid regardless of the approximation space used; thus they apply to hybrid asymptotic-numerical methods recently developed for the high frequency case. One way to interpret coercivity is by considering the numerical range of the operator. The numerical range is a well established tool in spectral theory, and algorithms exist to approximate the numerical range of finite dimensional matrices. We can, therefore, use Galerkin projections of the boundary integral operators to approximate the numerical range of the original operator. We prove convergence estimates for the numerical range of Galerkin projections of a general bounded linear operator on a Hilbert space to justify this approach. By computing the numerical range of the combined integral operator in acoustic scattering for several interesting convex, nonconvex, smooth, and polygonal domains, we numerically study coercivity estimates for varying wavenumbers. We find that coercivity holds, uniformly in the wavenumberk, for a wide variety of domains. Finally, we consider a trapping domain, for which there exist resonances (also called scattering poles) very close to the real line, to demonstrate that coercivity for a certain wavenumberkseems to be strongly dependent on the distance to the nearest resonance.
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