Bijections of silting complexes and derived Picard groups
Bijections of silting complexes and derived Picard groups
复制标题
淤积复合体和派生皮卡德群的双射
DOI：
10.1112/jlms.12591
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Eisele F
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Eisele F
在有限维k$k$‐代数a $ a $和B$B$ B$上的基本泥沙复体同构类所形成的淤泥- a $\textrm {{{\bf淤泥}}-}{B}$之间产生双射的方法，方法是将a $ a $和B$B$提升到两个k[[X]]$k[\![X]\！$‐与环同构的序。我们将其应用于一类广义Brauer图代数和加权曲面代数，证明了它们的淤积偏集在大多数情况下是多重无关的。在更强的假设条件下，我们还证明了它们派生的Picard群中存在着大的多重无关子群，以及TrPicent${\operatorname{\bf TrPicent}}$的多重不变性。作为有限群模表示理论的一个应用，我们证明了如果B$B$和C$C$是具有|IBr(B)|=|IBr(C)|$|\operatorname{IBr}(B)|=|\operatorname{IBr}(C)|$的块，其缺陷群要么是循环的，要么是二面体的，要么是四元数的，那么偏序集tilt - B$\textrm {{{\bf tilt}}-}{B}$和tilt - C$\textrm {{{\bf tilt}}-}{C}$是同构的(除非，可能，在四元数情况下，|IBr（B)|=2$|\operatorname{IBr}(B)|=2$）和TrPicent(B) = TrPicent(C)${\operatorname{\bf TrPicent}}(B)\cong {\operatorname{\bf TrPicent}}(C)$(可能除外，在四元数和二面体情况下，|IBr（B)|=2$|\operatorname{IBr}(B)|=2$）。
We introduce a method that produces a bijection between the posets silt−A$\textrm {{{\bf silt}}-}{A}$ and silt−B$\textrm {{{\bf silt}}-}{B}$ formed by the isomorphism classes of basic silting complexes over finite‐dimensional k$k$‐algebras A$A$ and B$B$, by lifting A$A$ and B$B$ to two k[[X]]$k[\![X]\!]$‐orders which are isomorphic as rings. We apply this to a class of algebras generalising Brauer graph and weighted surface algebras, showing that their silting posets are multiplicity‐independent in most cases. Under stronger hypotheses, we also prove the existence of large multiplicity‐independent subgroups in their derived Picard groups as well as multiplicity‐invariance of TrPicent${\operatorname{\bf TrPicent}}$. As an application to the modular representation theory of finite groups, we show that if B$B$ and C$C$ are blocks with |IBr(B)|=|IBr(C)|$|\operatorname{IBr}(B)|=|\operatorname{IBr}(C)|$ whose defect groups are either both cyclic, both dihedral or both quaternion, then the posets tilt−B$\textrm {{{\bf tilt}}-}{B}$ and tilt−C$\textrm {{{\bf tilt}}-}{C}$ are isomorphic (except, possibly, in the quaternion case with |IBr(B)|=2$|\operatorname{IBr}(B)|=2$) and TrPicent(B)≅TrPicent(C)${\operatorname{\bf TrPicent}}(B)\cong {\operatorname{\bf TrPicent}}(C)$ (except, possibly, in the quaternion and dihedral cases with |IBr(B)|=2$|\operatorname{IBr}(B)|=2$).
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