The asymptotic distribution of a single eigenvalue gap of a Wigner matrix
The asymptotic distribution of a single eigenvalue gap of a Wigner matrix
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维格纳矩阵的单个特征值间隙的渐近分布
DOI：
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发表时间：
2012
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
T. Tao
中科院分区：
文献类型：
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作者：
T. Tao
我们证明了，如果Wigner系综满足有限矩条件，且矩与GUE系综的矩匹配到四阶，则体中随机Wigner矩阵系综的单个本征值间隙$$lambda _{i+1}（M_n）-lambda _i（M_n）$$的分布（适当的重新标度）渐近地由Gaudin-Mehta分布给出.这是新的，即使在GUE的情况下，作为先前的结果建立的高丁-梅塔定律需要在本征值指数参数$$i$$的平均值，或固定的能量水平$$u$$而不是本征值指数。从GUE情形到Wigner情形的推广是四矩定理的一个常规应用。主要困难是建立特征值计数函数$$N_{（-infty，x）}的近似独立性（ ilde{M}_n）$$（其中$$ ilde{M}_n$$是$$M_n$$）的适当重新缩放版本，其中在GUE矩阵的情况下，在间隔$$[x，x+s]$$中没有谱。这将通过一些关于投影核给出的行列式过程的一般考虑来完成。
We show that the distribution of (a suitable rescaling of) a single eigenvalue gap $$lambda _{i+1}(M_n)-lambda _i(M_n)$$ of a random Wigner matrix ensemble in the bulk is asymptotically given by the Gaudin–Mehta distribution, if the Wigner ensemble obeys a finite moment condition and matches moments with the GUE ensemble to fourth order. This is new even in the GUE case, as prior results establishing the Gaudin–Mehta law required either an averaging in the eigenvalue index parameter $$i$$, or fixing the energy level $$u$$ instead of the eigenvalue index. The extension from the GUE case to the Wigner case is a routine application of the Four Moment Theorem. The main difficulty is to establish the approximate independence of the eigenvalue counting function $$N_{(-infty ,x)}( ilde{M}_n)$$ (where $$ ilde{M}_n$$ is a suitably rescaled version of $$M_n$$) with the event that there is no spectrum in an interval $$[x,x+s]$$, in the case of a GUE matrix. This will be done through some general considerations regarding determinantal processes given by a projection kernel.
影响因子：
3.1
作者：
Erdos, Laszlo;Schlein, Benjamin;Yau, Horng-Tzer
通讯作者：
Yau, Horng-Tzer