A positive proportion of plane cubics fail the Hasse principle
A positive proportion of plane cubics fail the Hasse principle
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平面立方体的正比例不符合哈斯原理
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发表时间：
2014
期刊：
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通讯作者：
M. Bhargava
中科院分区：
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作者：
M. Bhargava
当 $\mathbb Z$ 上的所有三元三次形式按其系数的高度排序时，我们表明它们中的正比例不符合哈斯原理，即它们在 $\mathbb Q$ 的每次完成上都有零，但在 $\mathbb Q$ 上没有零。我们还证明，$\mathbb Z$ 上的所有三元三次形式的正比例都非平凡地满足哈斯原理，即，它们在 $\mathbb Q$ 的每次完成上都拥有一个零，并且在 $\mathbb Q$ 上也拥有一个零。类似的结果也被证明适用于其他属一模型，即 $z^2=f(x,y)$ 形式的方程，其中 $f$ 是 $\mathbb Z$ 上的二元四次形式，以及 $\mathbb P^3$ 中二次曲线对的交集。
When all ternary cubic forms over $\mathbb Z$ are ordered by the heights of their coefficients, we show that a positive proportion of them fail the Hasse principle, i.e., they have a zero over every completion of $\mathbb Q$ but no zero over $\mathbb Q$. We also show that a positive proportion of all ternary cubic forms over $\mathbb Z$ nontrivially satisfy the Hasse principle, i.e., they possess a zero over every completion of $\mathbb Q$ and also possess a zero over $\mathbb Q$. Analogous results are proven for other genus one models, namely, for equations of the form $z^2=f(x,y)$ where $f$ is a binary quartic form over $\mathbb Z$, and for intersections of pairs of quadrics in $\mathbb P^3$.