Random iterations of polynomials of the form $z^2+c_n$: connectedness of Julia sets
Random iterations of polynomials of the form $z^2+c_n$: connectedness of Julia sets
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$z^2 c_n$ 形式的多项式的随机迭代：Julia 集的连通性
DOI：
10.1017/s0143385799141658
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发表时间：
1999
影响因子：
0.9
通讯作者：
S. Reitz
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
R. Brück;M. Büger;S. Reitz
对于复数序列$(c_n)$，我们考虑二次多项式$f_{c_n}(z):=z^2+c_n$和迭代序列$(F_n)$$F_n:= f_{c_n} \circ \dotsb \circ f_{c_1}$。根据定义，Fatou集合$\mathcal{F}_{(c_n)}$是所有$z \in \widehat{\mathbb{C}}$的集合，使得$(F_n)$在$z$的某些邻域中是正态的，而$\mathcal{F}_{(c_n)}$的补集称为Julia集合$\mathcal{J}_{(c_n)}$。本文的目的是研究假设序列$(c_n)$是有界的和随机选择的Julia集合$\mathcal{J}_{(c_n)}$的连通性。例如，我们证明了$\mathcal{J}_{(c_n)}$的连通性的一个充分必要条件，这意味着$\mathcal{J}_{(c_n)}$如果$|c_n| \le \frac{1}{4}$是连通的，而对于某些$\delta>\frac{1}{4}$，如果$|c_n| \le \delta$几乎肯定是不连通的。
For a sequence $(c_n)$ of complex numbers we consider the quadratic polynomials $f_{c_n}(z):=z^2+c_n$ and the sequence $(F_n)$ of iterates $F_n:= f_{c_n} \circ \dotsb \circ f_{c_1}$. The Fatou set $\mathcal{F}_{(c_n)}$ is by definition the set of all $z \in \widehat{\mathbb{C}}$ such that $(F_n)$ is normal in some neighbourhood of $z$, while the complement of $\mathcal{F}_{(c_n)}$ is called the Julia set $\mathcal{J}_{(c_n)}$. The aim of this paper is to study the connectedness of the Julia set $\mathcal{J}_{(c_n)}$ provided that the sequence $(c_n)$ is bounded and randomly chosen. For example, we prove a necessary and sufficient condition for the connectedness of $\mathcal{J}_{(c_n)}$ which implies that $\mathcal{J}_{(c_n)}$ is connected if $|c_n| \le \frac{1}{4}$, while it is almost surely disconnected if $|c_n| \le \delta$ for some $\delta>\frac{1}{4}$.