Counting arithmetic lattices and surfaces
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DOI：
10.4007/annals.2010.172.2197
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发表时间：
2008-11
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
M. Belolipetsky;T. Gelander;A. Lubotzky;A. Shalev
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Belolipetsky;T. Gelander;A. Lubotzky;A. Shalev
我们对简单李群 $H$ 中余体积至多 $x$ 的算术格 $\Gamma$ 的数量 $AL_H(x)$ 进行估计。特别是，我们获得了对最多 $x$ 的算术 3 流形数量的第一个具体估计。我们的主要结果是针对经典情况 $H=PSL(2,R)$，其中我们计算当 $x\to\infty$ 时 $\log AL_H(x) / x\log x$ 的极限。证明使用了几种不同的技术：几何（将 $\Gamma$ 的生成元数量限制为其余体积的函数）、数论（限制 $\Gamma$ 的最大值的数量）以及对对称群的特征值的锐估计（限制 $\Gamma$ 的子群增长）。
We give estimates on the number $AL_H(x)$ of arithmetic lattices $\Gamma$ of covolume at most $x$ in a simple Lie group $H$. In particular, we obtain a first concrete estimate on the number of arithmetic 3-manifolds of volume at most $x$. Our main result is for the classical case $H=PSL(2,R)$ where we compute the limit of $\log AL_H(x) / x\log x$ when $x\to\infty$. The proofs use several different techniques: geometric (bounding the number of generators of $\Gamma$ as a function of its covolume), number theoretic (bounding the number of maximal such $\Gamma$) and sharp estimates on the character values of the symmetric groups (to bound the subgroup growth of $\Gamma$).