Multilevel Preconditioning of Discontinuous-Galerkin Spectral Element Methods Part I: Geometrically Conforming Meshes
Multilevel Preconditioning of Discontinuous-Galerkin Spectral Element Methods Part I: Geometrically Conforming Meshes
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不连续伽辽金谱元方法的多级预处理第一部分：几何一致网格
DOI：
10.1093/imanum/dru053
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发表时间：
2015
影响因子：
2.1
通讯作者：
Wolfgang Dahmen
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kolja Brix;Martin Campos Pinto;Claudio Canuto;Wolfgang Dahmen
本文研究椭圆边值问题谱间断Galerkin离散的预处理概念的设计、分析和实现。虽然目前已知的技术实现了条件数的增长，当所有次数相等时，条件数在多项式次数中是对数的，否则是二次的，但是我们的主要目标是实现相对于任意大的局部变化多项式次数的完全鲁棒性，即，在温和的分级约束条件下，数量保持一致有界的网格大小和可变的程度。所设想的预条件子的概念基础是辅助空间方法。主要的概念成分，将显示在这个框架中产生的“最佳”预条件在上述意义上是Legendre-高斯-Lobatto网格与某些相关的各向异性嵌套二进网格，以及特别适应小波预条件所产生的低阶辅助问题。此外，预处理器具有模块化的形式，这有助于稍微简化的部分实现。例如，其中一个组件可以方便地与区域分解相结合，但代价是条件数的对数增长。我们的分析是补充定量实验研究的主要组成部分。
This paper is concerned with the design, analysis and implementation of preconditioning concepts for spectral discontinuous Galerkin discretizations of elliptic boundary value problems. While presently known techniques realize a growth of the condition numbers that is logarithmic in polynomial degrees when all degrees are equal and quadratic otherwise, our main objective is to realize full robustness with respect to arbitrarily large locally varying polynomial degrees, i.e., under mild grading constraints condition numbers stay uniformly bounded with respect to the mesh size and variable degrees. The conceptual foundation of the envisaged preconditioners is the auxiliary space method. The main conceptual ingredients that will be shown in this framework to yield ‘optimal’ preconditioners in the above sense are Legendre–Gauss–Lobatto grids in connection with certain associated anisotropic nested dyadic grids as well as specially adapted wavelet preconditioners for the resulting low-order auxiliary problems. Moreover, the preconditioners have a modular form that facilitates somewhat simplified partial realizations. One of the components can, for instance, be conveniently combined with domain decomposition, at the expense though of a logarithmic growth of condition numbers. Our analysis is complemented by quantitative experimental studies of the main components.
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