Über die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring
Über die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring
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Noetherschen 戒指中的理想
DOI：
10.1007/bf01112211
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发表时间：
1964
影响因子：
0.8
通讯作者：
O. Forster
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
O. Forster
在一个诺特申环中，它是一个理想环的定义。这并不意味着它是正确的，因为它是一个理想的创造者。科恩[2]是最好的林格，因为它是一个自然的Zahl k gibt，所以dab jedes一个理想的基础上，Schstens k元素besitzt。这是一个在Ringen上的小十字形，所有的Krutlsche维数都小于1。（Darunter befinden sich natiirlich die Hauptideal林格und die Dedekindschen林格.）在艾伦的Ringen和Ringen中，多项式梅尔是一个不可估计的，它给出了一个自然的Zahl N一个理想，从而使人们记住N个元素。这些纹身并不是从我们这里来的，而是从一个人的理想出发，在他的思想中找到一个合适的位置。因此，在一个多项式环中，一个K6 rper在n个元素的基础上给出了一个最大理想。在一个带有最大理想的诺特森星环R中，人们可以对一个理想进行简单的解释：你可以在R上找到物体的维数。在这个注记中，我们给出了一个在一个相信的全维Noetherschen环A中的一个理想的解，这个理想在A的Lokalisierungen A~ yon A中的一个初始解上（Satz 1）。在一个n维正则Noetherschen环中，通过n+ 1元韦尔登可以正则化理想（5号），在Steinsche代数中，通过求解全纯函数的林格，得到了一个正则的Noetherschen环。他的父亲是一个很有才华的人. w 0.文学术语中的术语和概念并不完全相同，我们可以从交换代数的角度来理解。[1]，[4]，[7]，[8]，[9]，[H]，[t3].在一个戒指下，我们将永远拥有一个与之交换的戒指，这是一个永恒的戒指。所有模块都是一个单元
In einem Noetherschen Ring ist nach Definition jedes Ideal endlich erzeugt. Es ist jedoch nichts dartiber gesagt, wieviele Elemente man zur Erzeugung eines Ideals braucht. IS COHEN [2] bestimmte die Ringe, for die es eine nattirliche Zahl k gibt, so dab jedes Ideal eine Basis aus h/Schstens k Elementen besitzt. Es ist dies eine ziemlich enge Klasse yon Ringen, die alle eine Krutlsche Dimension< 1 haben.(Darunter befinden sich natiirlich die Hauptidealringe und die Dedekindschen Ringe.) In allen anderen Ringen, insbesondere den Polynomringen in mehr als einer Unbestimmten, gibt es zu jeder nattirlichen Zahl N ein Ideal, zu dessen Erzeugung man mindestens N Elemente braucht. Diese Tatsache schliel3t jedoch nicht aus, dab man fiir spezielle Klassen yon Idealen die Mindestanzahl der Erzeugenden nach oben abschgtzen kann. So weiB man zB, dab in einem Polynomring in n Unbestimmten iiber einem K6rper jedes maximale Ideal eine Basis aus n Elementen besitzt. In einem Noetherschen Stellenring R mit dem maximalen Ideal m kann man die Mindestanzahl der Erzeugenden eines Ideals a leicht angeben: Sie ist gleich der Dimension des Vektorraumes a/am tiber dem K6rper R/m. In dieser Note wird nun eine Absch/itzung ftir die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem beliebigen endlich-dimensionalen Noetherschen Ring A angegeben, indem diese Zahl auf die entsprechenden Zahlen in den Lokalisierungen A~ yon A zuriickgefiihrt wird (Satz 1). Als Folgerung aus diesem Satz ergibt sich unter anderem, dag in einem n-dimensionalen regul/iren Noetherschen Ring jedes regulfire Ideal durch n+ 1 Elemente erzeugt werden kann (Satz 5), Ahnliche Betrachtungen lassen sich fiir Steinsche Algebren durchfiihren, dh ftir die Ringe der holomorphen Funktionen auf holomorph-vollst/indigen komplexen Rgumen. Hierauf beabsichtigt der Verfasser an anderer Stelle nfiher einzugehen. w 0. Benutzte Bezeiclmungen und BegriffeDa in der Literatur die Terminologie noch nicht einheitlich ist, stellen wir hier die ben6tigten Begriffe aus der kommutativen Algebra zusammen. Fiir nfihere Einzelheiten und die Beweise der bier angefiihrten und anderer spfiter bentitzten Tatsachen verweisen wir auf [1],[4],[7],[8],[9],[H],[t3]. Unter einem Ring verstehen wir hier immer einen kommutativen Ring mit Einselement, das yon der Null verschieden sei. Alle Moduln sind unitfire