Coherency for monoids and purity for their acts
Coherency for monoids and purity for their acts
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幺半群的一致性及其行为的纯粹性
DOI：
10.1016/j.aim.2023.109182
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发表时间：
2023
影响因子：
1.7
通讯作者：
Dandan Y
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Dandan Y
本文研究了么半群S的右凝聚性、S-系上方程的解和S-系的单射性之间的三种关系。一个幺半群是右相干的，如果每一个右表示的（右）S-系的每一个右生成子系都有一个有限表示，则一个S-系A的纯性可以用A上某些相容方程组在A中的解来表示，也可以用内射性来表示。例如，一个S-actA是绝对纯的（几乎纯的），如果A上的每个有限相容方程组（在一个变量中）在A中有解。等价地，A是绝对纯的（几乎纯的），如果它是关于包含的S-生成子系到S-表示（单演的S-表示）S-系内射的.我们的第一个主要结果表明，对于一个右凝聚幺半群S，几乎纯的和绝对纯的S-系类重合。我们的第二个主要结果是：么半群是右凝聚的当且仅当mfp-纯S-系和绝对纯S-系的类重合：一个S-系是mfp-纯的，如果它是单射的，关于包含的单演的S-系的子系。我们给出了具体的例子monoidsSthat是不是正确的连贯的，但这样的类几乎纯和绝对pureS-行为一致。最后，我们给出了一个关于monoids的条件，使得所有几乎纯S-系都是绝对纯的，这是关于S-系的可表示的S-系，它们的可生成的子系，以及某些典型扩张。
This article examines the three-way relationship between right coherency of a monoidS, solutions of equations overS-acts, and injectivity properties ofS-acts. A monoidSisright coherentif every finitely generated subact of every finitely presented (right)S-act itself has a finite presentation.Purity propertiesof anS-actAmay either be expressed in terms of solutions inAof certain consistent sets of equations overA, or in terms of injectivity properties. For example, anS-actAisabsolutely pure (almost pure)if every finite consistent set of equations overA(in one variable) has a solution inA. Equivalently,Aisabsolutely pure (almost pure)if it is injective with respect to inclusions of finitely generated subacts into finitely presented (monogenic finitely presented)S-acts.Our first main result shows that for a right coherent monoidSthe classes of almost pure and absolutely pureS-acts coincide. Our second main result is that a monoidSis right coherent if and only if the classes of mfp-pure and absolutely pureS-acts coincide: anS-act ismfp-pureif it is injective with respect to inclusions of finitely presented subacts into monogenic finitely presentedS-acts. We give specific examples of monoidsSthat are not right coherent yet are such that the classes of almost pure and absolutely pureS-acts coincide. Finally we give a condition on a monoidSfor all almost pureS-acts to be absolutely pure in terms of finitely presentedS-acts, their finitely generated subacts, and certain canonical extensions.
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