The eigenvalue problem for the $$\infty $$-Bilaplacian
The eigenvalue problem for the $$\infty $$-Bilaplacian
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$$infty $$-Bilaplacian 的特征值问题
DOI：
10.1007/s00030-017-0492-4
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Katzourakis N
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Katzourakis N
我们考虑的问题发现和描述自动喷雾器的瑞利商Λ_∞\,:= \ \正_ u∈W ^ 2∞(Ω)∖{0 \}为Δu为_ L ^∞(Ω)为u为_ L ^∞(Ω)Λ∞:=正u∈W 2∞(Ω){0为Δu为L∞(Ω)为u为L∞(Ω),在Ω⊆R ^ nΩ⊆R n是一个有界的C ^ 1, 1 C 1域和W ^ 2,∞(Ω)W 2∞(Ω)是一类弱两次可微函数满足要么对∂u = 0 = 0Ω∂Ω或u = u | = 0 = | | D D在∂u | = 0Ω∂Ω。我们的第一个主要结果,由L^ p L -p问题近似得到p→∞p→∞，是一个极小值u_∞∈W^ 2，∞（Ω） u∞∈W 2,∞（Ω）满足aligned\left {array ll Δ u_∞\，∈\，Λ _∞Sgn (f_∞)& ae in Ω，\Δ f_∞\,=\,μ _∞& in D'（Ω）， array\right的存在性。对齐Δu∞∈Λ∞胡志明市(f∞)aeΩ,Δf∞=μ∞在D ' f∞(Ω),对于一些∈L ^ 1(Ω)∩BV_ loc(Ω)f∞∈L 1(Ω)∩BV loc(Ω)和测量μ_∞∈M(Ω)μ∞∈(Ω),对边界条件的选择。这里Sgn是多值符号函数。我们还研究了特征值Λ _∞Λ∞对定域的依赖性，建立了一个Faber-Krahn型不等式的有效性：在所有具有固定测度的C^ 1,1 C 1,1定域中，球是Ω∑Λ _∞（Ω） Ω∑Λ∞（Ω）的严格极小值。这一结果对任何一种边界条件的选择都是成立的，并且在每个维度上都是成立的。
We consider the problem of finding and describing minimisers of the Rayleigh quotient Λ _ ∞\,:=\,\inf _ u ∈ W^ 2, ∞ (Ω) ∖ {0\} ‖ Δ u ‖ _ L^ ∞ (Ω) ‖ u ‖ _ L^ ∞ (Ω), Λ∞:= inf u∈ W 2,∞(Ω){0‖ Δ u‖ L∞(Ω)‖ u‖ L∞(Ω), where Ω ⊆ R^ n Ω⊆ R n is a bounded C^ 1, 1 C 1, 1 domain and W^ 2, ∞ (Ω) W 2,∞(Ω) is a class of weakly twice differentiable functions satisfying either u= 0 u= 0 on ∂ Ω∂ Ω or u=| D u|= 0 u=| D u|= 0 on ∂ Ω∂ Ω. Our first main result, obtained through approximation by L^ p L p-problems as p → ∞ p→∞, is the existence of a minimiser u_ ∞ ∈ W^ 2, ∞ (Ω) u∞∈ W 2,∞(Ω) satisfying aligned\left {array ll Δ u_ ∞\, ∈\, Λ _ ∞ Sgn (f_ ∞) & ae in Ω,\Δ f_ ∞\,=\, μ _ ∞ & in D'(Ω), array\right. aligned Δ u∞∈ Λ∞ Sgn (f∞) ae in Ω, Δ f∞= μ∞ in D′(Ω), for some f_ ∞ ∈ L^ 1 (Ω) ∩ BV_ loc (Ω) f∞∈ L 1 (Ω)∩ BV loc (Ω) and a measure μ _ ∞ ∈ M (Ω) μ∞∈ M (Ω), for either choice of boundary conditions. Here Sgn is the multi-valued sign function. We also study the dependence of the eigenvalue Λ _ ∞ Λ∞ on the domain, establishing the validity of a Faber–Krahn type inequality: among all C^ 1, 1 C 1, 1 domains with fixed measure, the ball is a strict minimiser of Ω ↦ Λ _ ∞ (Ω) Ω↦ Λ∞(Ω). This result is shown to hold true for either choice of boundary conditions and in every dimension.