L2 harmonic 1-forms on complete submanifolds in Euclidean space
L2 harmonic 1-forms on complete submanifolds in Euclidean space
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DOI：
10.2996/kmj/1257948888
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发表时间：
2009-10
影响因子：
0.6
通讯作者：
Hai-Ping Fu;Zhen-qi Li
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Hai-Ping Fu;Zhen-qi Li
令 M n ð n b 3 Þ 为 ð n þ p Þ 维欧几里得空间 R n þ p 中的 n 维完全非紧导向子流形，总平均曲率有限，即 Ð M j H j n < y ，其中 H 是 M 的平均曲率向量。然后我们证明M的每一端都必须是非抛物线的。用 f 表示 M 的无痕第二基本形式。我们还证明，如果 Ð M j f j n < C ð n Þ ，其中 C ð n Þ 是显式正常数，则 M 上不存在非平凡的 L 2 调和 1 形式，并且具有 M 紧支持的第一个 de Rham 上同调群是平凡的。作为推论，这样的子流形只有一个端点。这意味着这样的最小子流形是平面的。
Let M n ð n b 3 Þ be an n -dimensional complete noncompact oriented submanifold in an ð n þ p Þ -dimensional Euclidean space R n þ p with finite total mean curvature, i.e, Ð M j H j n < y , where H is the mean curvature vector of M . Then we prove that each end of M must be non-parabolic. Denote by f the traceless second fundamental form of M . We also prove that if Ð M j f j n < C ð n Þ , where C ð n Þ is an an explicit positive constant, then there are no nontrivial L 2 harmonic 1-forms on M and the first de Rham’s cohomology group with compact support of M is trivial. As corollaries, such a submanifold has only one end. This implies that such a minimal submanifold is plane.