The stationary AKPZ equation: Logarithmic superdiffusivity
The stationary AKPZ equation: Logarithmic superdiffusivity
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平稳 AKPZ 方程：对数超扩散率
DOI：
10.1002/cpa.22108
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发表时间：
2023
影响因子：
3
通讯作者：
Cannizzaro G
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Cannizzaro G
我们研究了二维各向异性KPZ方程（AKPZ），其形式为∂tH=12ΔH+λ((∂1H)2−(∂2H)2)+ξ, $$\begin{equation*} \hspace*{3.4pc}\partial _t H=\frac{1}{2}\Delta H+\lambda ((\partial _1 H)^2-(\partial _2 H)^2)+\xi , \end{equation*}$$其中ξ是时空白噪声，λ是严格正常数。虽然经典的二维KPZ方程(其非线性为|∇H|2=(∂1H)2+(∂2H)2 $|\nabla H|^2=(\partial _1 H)^2+(\partial _2 H)^2$)可以通过Cole - Hopf变换线性化，但AKPZ并非如此。我们证明了AKPZ的平稳解（其不变测度是高斯自由场（GFF））是超扩散的：它的扩散系数在Tauberian意义上发散为logt $\sqrt {\mathop {\mathrm{log}}\nolimits t}$直到logt $\mathop {\mathrm{log}}\nolimits \mathop {\mathrm{log}}\nolimits t$修正。从道义上讲，这表明相关长度随时间增长，如t1/ 2x (logt)1/4 $t^{1/2}\times (\mathop {\mathrm{log}}\nolimits t)^{1/4}$。此外，我们还表明，如果该过程被扩散地重新标化（t→t/ε2,x→x/ε,ε→0 $t\rightarrow t/\varepsilon ^2, x\rightarrow x/\varepsilon , \varepsilon \rightarrow 0$），那么它已经在约为1/|logε|≪1 $1/\sqrt {|\mathop {\mathrm{log}}\nolimits \varepsilon |}\ll 1$阶的时间尺度上发生了显著的演化。只要非线性系数λ非零，这两种说法都成立。这些结果与数学界普遍认为的AKPZ方程在大尺度上是扩散的，并且在简单的扩散标度下收敛到具有加性噪声（即λ=0 $\lambda =0$）的二维随机热方程（2dSHE）相反。
We study the two‐dimensional Anisotropic KPZ equation (AKPZ) formally given by ∂tH=12ΔH+λ((∂1H)2−(∂2H)2)+ξ,$$\begin{equation*} \hspace*{3.4pc}\partial _t H=\frac{1}{2}\Delta H+\lambda ((\partial _1 H)^2-(\partial _2 H)^2)+\xi , \end{equation*}$$where ξ is a space‐time white noise and λ is a strictly positive constant. While the classical two‐dimensional KPZ equation, whose nonlinearity is |∇H|2=(∂1H)2+(∂2H)2$|\nabla H|^2=(\partial _1 H)^2+(\partial _2 H)^2$, can be linearised via the Cole‐Hopf transformation, this is not the case for AKPZ. We prove that the stationary solution to AKPZ (whose invariant measure is the Gaussian Free Field (GFF)) is superdiffusive: its diffusion coefficient diverges for large times as logt$\sqrt {\mathop {\mathrm{log}}\nolimits t}$ up to loglogt$\mathop {\mathrm{log}}\nolimits \mathop {\mathrm{log}}\nolimits t$ corrections, in a Tauberian sense. Morally, this says that the correlation length grows with time like t1/2×(logt)1/4$t^{1/2}\times (\mathop {\mathrm{log}}\nolimits t)^{1/4}$. Moreover, we show that if the process is rescaled diffusively (t→t/ε2,x→x/ε,ε→0$t\rightarrow t/\varepsilon ^2, x\rightarrow x/\varepsilon , \varepsilon \rightarrow 0$), then it evolves non‐trivially already on time‐scales of order approximately 1/|logε|≪1$1/\sqrt {|\mathop {\mathrm{log}}\nolimits \varepsilon |}\ll 1$. Both claims hold as soon as the coefficient λ of the nonlinearity is non‐zero. These results are in contrast with the belief, common in the mathematics community, that the AKPZ equation is diffusive at large scales and, under simple diffusive scaling, converges to the two‐dimensional Stochastic Heat Equation (2dSHE) with additive noise (i.e., the case λ=0$\lambda =0$).
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DOI：
10.1142/9789813272880_0158
发表时间：
2017-11
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--
作者：
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通讯作者：
F. Toninelli
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10.1214/20-aop1446
发表时间：
2021
期刊：
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影响因子：
--
作者：
Cannizzaro G
通讯作者：
Cannizzaro G
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DOI：
--
发表时间：
2011
期刊：
影响因子：
--
作者：
M. Balázs;J. Quastel;T. Seppäläinen
通讯作者：
T. Seppäläinen
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10.1007/s40072-022-00283-5
发表时间：
2023-01
期刊：
Stochastics and Partial Differential Equations: Analysis and Computations
影响因子：
--
作者：
G. Cannizzaro;Jacek Kiedrowski
通讯作者：
G. Cannizzaro;Jacek Kiedrowski
DOI：
--
发表时间：
2010
期刊：
影响因子：
--
作者：
Ivan Corwin;J. Quastel
通讯作者：
J. Quastel